Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
Математические методы классической механики
Автор: Арнольд В.И.Издательство: Едиториал УРСС
Год издания: 1989
Страницы: 408
5-02-014282-4
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195
Скачать:
В.И. Арнольд
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Книга отличается от имеющихся учебников механики большей, чем это обычно принято, связью с современной математикой. Особенное внимание обращено на взаимно обогащающее взаимодействие идей механики и геометрии многообразии.
В соответствии с таким подходом центральное место в книге занимают не вычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов формализм). Много внимания уделено качественным методам изучения движения в целом, в том числе асимптотическим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты).
Для студентов университетов и вузов с расширенной программой по математике, а также преподавателей и научных работников.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию................. 6
Иа предисловия к первому изданию................ 9
ЧАСТЬ і НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА
Глава 1. Экспериментальные факты.............. 11
§ 1. Принципы относительности и детерминированности...... 11
§ 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона.......... 12
§ 3. Примеры механических систем.............. 18
Глава 2. Исследование уравнений движения.......... 21
§ 4. Системы с одной степенью свободы............ 21
§ 5. Системы с двумя степенями свободы............ 26
§ 6. Потенциальное силовое поле................ 30
§ 7. Кинетический момент................... 32
§ 8. Исследование движения в центральном поле........ 34
§ 9. Движение точки в трехмерном пространстве........ 42
§ 10. Движение системы п точек................ 44
§ 11. Соображения подобия................... 50
ЧАСТЬ и ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
Глава 3. Вариационный принцип................ 52
§ 12. Вариационное исчисление................ 53
§ 13. Уравнения Лагранжа................... 56
§ 14. Преобразование Лежандра................ 59
§ 15. Уравнения Гамильтона.................. 61
§ 16. Теорема Лиувилля.................... 64
Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях........ 70
§ 17. Голономные связи......... ........... 70
§ 18. Дифференцируемые многообразия............. 72
§ 19. Лагранжева динамическая система............ 77
§ 20. Теорема Нётер...................... 81
§ 21. Принцип Даламбера.................... 84
Глава 5. Колебания....................... 90
§ 22. Линеаризация...................... 90
§ 23. Малые колебания...................... 94
§ 24. О поведении собственных частот....... ........ 99
§ 25. Параметрический езонанс................ 102
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ III ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
Глава 7. Дифференциальные формы............... 142
§ 32. Внешние формы..................... 143
§ 33. Внешнее умножение.................... 148
§ 34. Дифференциальные формы................. 152
§ 35. Интегрирование дифференциальных форм......... 158
§ 36. Внешнее дифференцирование............... 164
Глава 8. Симплектические многообразия............. 175
§ 37. Симплектическая структура на многообразии....... 175
§ 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты .......................... 177
§ 39. Алгебра Ли векторных полей............... 181
§ 40. Алгебра Ли функций Гамильтона............. 187
§ 41. Симплектическая геометрия................ 191
§ 42. Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы......................... 197
§ 43. Симплектический атлас................. 201
Глава 9. Канонический формализм................ 205
§ 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана......... 205
§ 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре — Картана........................ 211
§ 46. Принцип Гюйгенса.................... 218
§ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических
уравнений Гамильтона................... 226
§ 48. Производящие функции.................. 234
Глава 10. Введение в теорию возмущений........... 238
§ 49. Интегрируемые системы.................. 238"
§ 50. Переменные действие — угол............... 245
§ 51. Усреднение........................ 250
§ 52. Усреднение воамугцений.................. 256
ДОБАВЛЕНИЯ
Добавление 1. Риманова кривизна................. 266
Добавление 2. Геодеаические левоинвариантных метрик на группах
Ли и гидродинамика идеальной жидкости............ 283
Добавление 3. Симплектическая структура на алгебраических многообразиях ............................ 308
Добавление 4. Контактные структуры.............. 314
Добавление 5. Динамические системы с симметрией....... 337
Добавление 6. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов 347 Добавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи
неподвижных точек и замкнутых траекторий.......... 351
Глава 6. Твердое тело..................... ill
§ 26. Движение в подвижной системе координат......... 111