Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Множество событий, одновременных друг с Рис- 2- ^™eP°aJI вре" другом, образует трехмерное аффинное подпространство в А*. Оно называется пространством одновременных событий As.
Ядро отображения t составляют параллельные переносы АА, переводящие какое-нибудь (и тогда любое) событие в одновременное с ним. Это ядро является трехмерным линейным подпространством R3 линейного пространства R4.
Галилеева структура включает в себя еще один элемент.
3) Расстояние между одновременными событиями
р (a, b) = И а — b И = Y(а — b, а — b), а, Ъ Є А3,
заданное скалярным произведением в пространстве R3. Это расстояние превращает каждое пространство одновременных событий в трехмерное евклидово пространство E9.
Пространство Л4, снабженное галилеевой пространственно-временной структурой, называется галилеевым пространством.
Можно говорить о двух событиях, происходящих одновременно в разных местах, однако утверждение «два разновременных события а, Ъ є Л4 происходили в одном и том же месте трехмерного пространства» не имеет смысла, пока мы не выбрали систему координат.
Галилеевой группой называется группа всех преобразований галилеева пространства, сохраняющих его структуру. Элементы
*) В древности мир снабжали не аффинной, а линейной структурой (геоцентрическая система + сотворение мира).
14
ГЛ. і. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
этой группы называются галилеевыми преобразованиями. Таким образом, галилеевы преобразования являются аффинными преобразованиями Аі, сохраняющими интервалы времени и расстояния между одновременными событиями.
Пример. Рассмотрим прямое произведение *) R X R3 оси t на трехмерное линейное пространство R8 с фиксированной евклидовой структурой. Такое пространство имеет естественную га-лилееву структуру. Это пространство мы будем называть координатным галилеевым пространством.
Приведем три примера галилеевых преобразований этого пространства. Во-первых, равномерное движение со скоростью v
gx (t, х) = (t,<x + vt), ЄЕ R, ас ЕЕ R3. Далее, сдвиг начала отсчета
g2 (t, ж) = (t + s, X + s), Vf ЄЕ R, X ЄЕ R3-Наконец, поворот осей координат
Sa (t, ж) = (t, Gx), Vt ЄЕ R, X ЄЕ R8,
где G: R8 -у R3 — ортогональное преобразование.
Задача. Докажите, что каждое галилеево преобразование пространства RxR3 можно представить в виде произведения поворота, сдвига и равномерного движения (g = gi-gi-^) и притом единственным образом (так что размерность галилеевой группы равна 3 + 4 + 3 = 10).
Задача. Докажите, что все галилеевы пространства изоморфны друг другу **) и, в частности, изоморфны координатному пространству R X R3.
Пусть M — множество. Взаимно однозначное отображение (P1: M -*¦ R XR3 называется галилеевой системой координат в множестве М. Система координат <р2 равномерно движется относительно системы координат (J)1, если Cp1 ¦ фа1: R X R3->R X XR8 — галилеево преобразование. Галилеевы системы координат фх и ф2 задают в M одинаковую галилееву структуру.
В. Движение, скорость, ускорение. Движением в RN называется дифференцируемое отображение х: I RN интервала / вещественной оси в R^.
Вектором скорости в точке 10 <= / называется производная
Iim a>{t0 + h) — ж(tB) ^rJV
*) Напомню, что прямое произведение двух множеств А, В есть множе ство упорядоченных пар (а, Ъ), где а є Л, Ъ є В. Прямое произведение двух пространств (линейных, аффинных, евклидовых) имеет структуру пространства того же типа.
**) То есть существует взаимно однозначное отображение одного на другое, сохраняющее галилееву структуру.
§ 2. ГАЛИЛЕЕВА ГРУППА И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА 15
Вектором ускорения в точке t0 называется вторая производная
Мы будем считать, что встречающиеся нам функции непрерывно дифференцируемы нужное число раз. В дальнейшем, если не оговорено противное, под отображениями, функциями и т. п. понимаются дифференцируемые отображения, функции и т. д. Образ отображения х: I RlY называется траекторией или кривой
Задача. Может ли траектория дифференцируемого движения на плоскости иметь нарисованный на рис. 3 вид? Может ли вектор ускорения иметь указанное значение?
Ответ. Да. Нет.
Определим теперь, что такое механическая система из п точек, движущихся в трехмерном евклидовом пространстве.
Пусть эс: R R3 — движение в R8. График *) этого отображения является кривой в R X R3.
Кривая в галилеевом пространстве, являющаяся в какой-нибудь (и тогда любой) галилеевой системе координат графиком движения, называется мировой линией (рис. 4).
Движение системы из п точек задается в галилеевом пространстве п мировыми линиями. В галилеевой системе координат они описываются п отображениями xt: R —*• R3, і = 1, . . ., п.
Прямое произведение п экземпляров R3 называется конфигурационным пространством системы п точек. Наши п отображений Sty: R -> R3 определяют одно отображение
оси времени в конфигурационное пространство. Такое отображение и называется движением системы п точек в галилеевой системе координат RxR8.
Г. Уравнение Ньютона. Согласно принципу детерминированности Ньютона (§ 1, В) все движение системы однозначно опре-
