Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
ас, = fi ({Xj 3Cj?, SCj — •*([})> ?, /» k = 1,..., п.
Пример 3. Среди галилеевых преобразований имеются повороты в трехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких поворотов означает, что пространство изотропно, так что в нем нет предпочтительных направлений.
То есть, если <рг: R -*¦ R3 (i = 1, . . ., п) — движение системы точек, удовлетворяющее (1), и G: R3 -> R3 — ортогональное преобразование, то движение Скрг: R-> R3 (i = 1, . . ., п) также
18
ГЛ. 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
удовлетворяет (1). Иначе roBopHj
.P(Ga;, Gx) = GF (х, х),
где Gac означает (Gx1, . . ., Gxn), xt Є= R3.
Задача. Докажите, что если механическая система состоит всего из ¦одной точки, то ее ускорение в инерциалъной системе координат равно нулю («первый закон Ньютона»).
Указание. Согласно примерам 1, 2 вектор ускорения не зависит ¦от ж, ab, t, а согласно примеру 3 вектор F инвариантен относительно вращений.
Задача. Механическая система состоит из двух точек. В начальный момент их скорости (в некоторой инерциалъной системе координат) равны нулю. Докажите, что точки будут двигаться по соединяющей их прямой.
Задача. Механическая система состоит из трех точек. В начальный момент их скорости (в некоторой инерциалъной системе координат) равны нулю. Докаяште, что точки всегда останутся в той же плоскости, в которой «ни лежат в начальный момент.
Задача. Механическая система состоит из двух точек. Докажите, что при любых начальных условиях существует такая инерциальная система координат, что в ней эти две точки постоянно остаются в неподвижной плоскости.
Задача. Докажите, что механика в Зазеркалье тождественна с нашей.
Указание. В галилеевой группе есть преобразования отражения, меняющие ориентацию R3.
Задача. Единствен ли класс инерциальных систем?
Ответ. Другие классы получатся, если изменять масштабы длины и времени, а также направление времени.
§ 3. Примеры механических систем
Мы уже отметили, что вид функции F в уравнении Ньютона (1) для каж дой механической системы определяется экспериментально. Приведем несколько примеров.
При рассмотрении конкретных систем разумно не включать в систему все объекты Вселенной. Например, при исследовании большинства происходящих на Земле явлений можно не учитывать влияние Луны. Далее, обычно можно пренебречь влиянием изучаемых процессов на движение самой Земли и даже считать систему координат, связанную с Землей, «неподвижной». Разумеется, принцип относительности уже не накладывает на уравнения движения, записанные в такой системе координат,
fпрежних ограничений. Например, вблизи Земли имеется избранное направление: вертикальное.
А. Пример 1. Падение камня на Землю.
«и А. Пример 1. На,
/ |у Опыт показывает, что
ТУ
7777777777777777777777 X = —g, g AS 9,8 м/с2 (ГаЛИЛеЙ), (2)
Рис'в« ?^6"™кам" где X — высота камня над поверхностью Зем-ли (рис. о).
Если ввести «потенциальную энергию» U = gx, то уравнение (2) можно записать в виде
dx
§ 3. ПРИМЕРЫ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
19
Если U: EN -+¦ R — дифференцируемая функция в евклидовом пространстве, то мы будем обозначать через dU/dx градиент функции U. Если EN — ?"» X ... X Е"к — прямое произведение евклидовых пространств, то мы будем обозначать точку х (= EN через (3C1, . . ., aCfc), а вектор dU/dx через (8UIdX1, . . ., dU/dxk). В частности, если X1, . . ., xN — декартовы координаты в EN, то компоненты вектора д?//дзс равны частным производным 8UlOx1, ... . . ., dUldxn.
Опыт показывает, что радиус-вектор камня относительно какой-нибудь точки Земли О, удовлетворяет уравнению
SC = —-^-, где U = —gx. (3)
Вектор в правой части направлен к Земле. Он называется вектором ускорения силы тяжести д.
Б. Пример 2. Падение с большой высоты. Подобно всем экспериментальным фактам, закон движения (2) имеет ограниченную область применения.
Согласно более точному экспериментальному закону падения, открытому Ньютоном, ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния от j, г
центра Земли: о->—-— °х
г2
«г = — g-pr >
Рис. 7. Поле тяготения і / гт\ Земли
где г = r0 + X (рис. 7).
Это уравнение также можно записать в виде (3), введя потенциальную энергию
сбратно пропорциональную расстоянию до центра Земли.
Задача. Определить, с какой скоростью следует бросить камень, чтобы он улетел с поверхно- X сти Земли на бесконечное расстояние *). . HH ^
Ответ. > 11,2 км/с. | -^^ЩЩ^ \
В. Пример 3. Движение грузика по нря- Я *
МОЙ ПОД действием ПружИНЫ. Эксперимент рис. 8. Грузик на пру-
показывает, что при небольших отклонени- жине
ях пружины от ее нейтрального положения
Уравнение движения грузика будет иметь вид (рис.8)
? = —а?х.
ото уравнение также можно записать в виде (3), если ввести
*) Это так называемая вторая космическая скорость v2. Наше уравнение не учитывает притяжения Солнца. Притяжение Солнца не выпустит камень
Солнечной системы, если скорость камня относительно Земли мень-ию 16,6 км/с.
