Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
*<РГ Qj)
Условие det- Q ^—p~Y~ ^ означает невырожденность TS: P —» о. Оператор S невырожден. Поэтому для невырожденности TS необходимо и достаточно, чтобы проектирование Т: SP —* о~ не вырождалось. Иными словами, нулевая плоскость SP должна быть трансверсальной нулевой координатной плоскости б. Но мы доказали в § 41, что хотя бы одна из 2" нулевых координатных плоскостей трансверсальна SP. Значит, один из наших 2" определителей отличен от нуля, что и требовалось доказать.
Задача. Доказать, что приведенная система 2" видов производящих функций минимальна: существуют канонические преобразования, для которых отличен он нуля лишь один из 2" определителей *).
Рис. 200. к про- В. Бесконечно малые канонические преобразо-
верКденностиРСЖ" вшшя. Рассмотрим теперь каноническое преобразование, близкое к тождественному. Его производящую функцию можно взять близкой к производящей функции тождества Рд. Рассмотрим семейство канонических преобразований ge, дифференцируемо зависящих от параметра є, так что производящая функция имеет вид
Pg+ eS(P,g;e); p = P + EJg-, Q = q+e^.. (4)
Бесконечно малым каноническим преобразованием называется класс эквивалентности семейств ge; два семейства ge и he эквивалентны, если они отличаются малыми выше первого порядка, I ?• - К I = О (є2), є -v 0.
Теорема. Бесконечно малое каноническое преобразование удовлетворяет дифференциальным уравнениям Гамильтона
dP І _ _ дії dQ I _ дН
de в=о dq ' de ^=Q dp
с функцией Гамильтона H (p, g) = S (p, g, 0).
Доказательство получается из формул (4): P -> р при є -v 0.
Следствие. Однопараметрическая группа преобразований фазового пространства R2" удовлетворяет каноническим уравнениям Гамильтона тогда и только тогда, когда преобразования канонические.
*) Число видов производящих функций в разных учебниках колеблется от 4 до 4я.
§ 48. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
237
Функцию Гамильтона H называют в связи с этой теоремой «производящей функцией канонического бесконечно малого преобразования». Заметим, что, в отличие от производящих функций S, функция H есть функция точки фазового пространства, инвариантно связанная с преобразованием.
Функция H имеет простой геометрический смысл. Пусть X я у — две точки из R2n (рис. 210), у — соединяющая их кривая, ду = у — х. Рассмотрим сдвиги кривой Y ПРИ наших преобразованиях, gxy, 0 <^ т ^ є. Они образуют полоску с (є). Рассмотрим интеграл формы со2 = ^?pi Д dq-, по 2-цепи а, до = =&7 — Y + ёхУ — SxX. Задача. Докажите, что
H (V)-H(X)
o (e)
Рис. 210. Геометрический смысл функции Гамильтона
существует и не зависит от представителя класса ge.
Из этого результата мы еще раз получаем уже известное Следствие. При каноническом преобразовании канонические уравнения сохраняют свой вид, а также величину функции Гамильтона.
Действительно, мы вычислили приращение функции Гамильтона, используя только бесконечно малое каноническое преобразование и симплектическую структуру R2" — форму (D2.
Г Л А В А 10
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
Теория возмущений представляет собой весьма полезный набор приемов» предназначенных для приближенного решения «возмущенных» задач, близких к «невозмущенным», решенным точно. Эти приемы легко оправдать, если речь идет об исследовании движений на небольшом интервале времени. Вопрос о том, в какой мере можно доверять выводам теории возмущений при исследовании движения на больших и бесконечных интервалах времени, изучен весьма мало.
Мы увидим, что во многих «невозмущенных» интегрируемых задачах движение оказывается условно периодическим. При исследовании движения как в невозмущенной, так и особенно в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты: переменные «действие — угол». В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах.
| [§ 49. Интегрируемые системы
Чтобы проинтегрировать систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений, нужно знать 2п первых интегралов. Оказывается, если дана каноническая система дифференциальных уравнений, то во многих случаях достаточно знать лишь п первых интегралов — каждый из них позволяет понизить системы не на одну, а на две единицы.
А. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах. Напомню, что функция F является первым интегралом системы с функцией Гамильтона H тогда и только тогда, когда скобка Пуассона
(Я, F) = 0
тождественно равна нулю.
Определение. Две функции F1, F2 на симплектическом многообразии находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю.
Лиувилль доказал, что если в системе с п степенями свободы (т. е. 2п-мерным фазовым пространством) известны п независимых первых интегралов в инволюции, то система интегрируема в квадратурах.
Вот точная формулировка этой теоремы.
§ 49. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
239
Предположим, что на симплектическом 2п-мерном многообразии даны п функций в инволюции
