Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
да = Yi — Ї2 + ?
а
Рис. 199. Экстремаль с фокальной точкой, которую нельзя включить в центральное поле
состоит из двух фазовых траекторий Y1 и у2, отрезка кривой а, лежащей в пространстве (q = q0, t = t0), и отрезка кривой ?, проектирующегося в отрезок (Ag, At). Так как а состоит из линий ротора формы pdq — Hdt, имеем [
0 =§d(pdq — Hdt) = ] pdq —
а да
— Hdt = J — J + J — ] pdq — Hdt.
At,Aq
Но на отрезке а имеем dq = 0, Рис. 200. Вычисление дифферен-
dt = 0. Ha фазовых траекториях Уі циала *ункции действия-и Y2 P dq — Hdt = L dt (§ 45, В). Итак, разность^' — \ pdq — H dt
Y2 Yi
равна приращению функции действия, и мы находим J р dq — H dt = S (q + Ag, t + At) — S (q, t).
Если теперь Aq ->- 0, Ai-»- 0, то
^ pdq — Hdt = pAq — HAt + о (At, Aq),
что и доказывает теорему.
Мы видим, что форма pdq — H dt, прежде введенная нами искусственно, сама собой возникает при проведении оптико-механической аналогии из рассмотрения функции действия, соответствующей оптической длине пути.
Г. Уравнение Гамильтона — Якоби. Вспомним, что «вектор нормальной медлительности р» не может быть совсем произвольным: он подчиняется одному условию pq = І, вытекающему из
224
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
зпринципа Гюйгенса (стр. 219). Аналогичное условие накладывается и на градиент функции действия ¦S".
Теорема. Функция действия удовлетворяет уравнению
as
dt
(1)
Это нелинейное уравнение первого порядка в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби.
Для доказательства теоремы достаточно заметить, что по предыдущей теореме
as и, ,. ds
-—=-H(p,q,t), P = -^.
Установленную связь между траекториями механической системы («лучами») и уравнением в частных производных («волновыми фронтами») можно использовать в двух направлениях.
Во-первых, некоторые решения уравнения (1) можно использовать для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений динамики. В этом состоит метод Якоби интегрирования канонических уравнений Гамильтона, изложенный в следующем параграфе.
Во-вторых, связь лучевой и волновой точек зрения позволяет свести интегрирование уравнения в частных производных (1) к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона.
Остановимся на этом несколько подробнее. Поставим для уравнения Гамильтона — Якоби (1) задачу Коши
S(ff,r„)=S0(ff), -*L + /z(-^.,g, *)=0. (2)
Чтобы построить решение этой задачи, рассмотрим систему канонических уравнений Гамильтона
Рис. 201. Характеристики для решения задачи Коши для уравнения Гамильтона — Якоби
р = —
вн
dq
Q =
вн
др
Рассмотрим начальные условия (рис. 201):
oS I
ff(*o) = ffo ^ -0^-|во.
Соответствующее этим начальным условиям решение изображается в (q, ^-пространстве кривой q = q (t) — экстремалью принципа S J L dt = 0 (где лагранжиан L (q, q, t) есть преобразование
§ 46. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
225
Лежандра по р от функции Гамильтона H (р, q, t)). Эта экстремаль называется характеристикой задачи (2), выходящей из точки q0.
Если значение tt достаточно близко к t0, то характеристики, выходящие из близких точек q, не пересекаются при t0 <[ t <^ tlt \q — q0 1 <С R. Более того, значения q0 и t можно принять за координаты точки А в области | q — q0 \<.R, t0^t ^t1 (рис. 201).
Построим теперь «функцию действия с начальным условием S0»:
S(A) = S0(Q0)+ J L(q,q,t)dt
(3)
(интегрирование вдоль характеристики, ведущей в А).
Теорема. Функция (3) есть решение нашей задачи (2).
Действительно, начальное условие, очевидно, выполнено. Выполнение уравнения Гамильтона — Якоби проверяется, как в теореме о дифференциале функции действия (рис. 202).
А+АА
Рис. 202. Функция действия как решение Рис. 203. Типичная особенность ре-уравнения Гамильтона — Якоби шения уравнения Гамильтона—Якоби
По лемме Стокса ^ — ^ + ^ — ^ р dq — H dt = 0. Но на a dt = 0, р = Yi Y2 ? а
= OS0[Oq, поэтому ^pdq — H dt =^pdq = ^ dS0 = S0 (q0 + Дд) — S0 (q0).
a a a
Далее, y1 2 — фазовые траектории, поэтому
^ pdq— H dt= ^ Ldt. Vi ,2 Vi,2
Итак,
$ p dq — H dt = [¦S0 (Qo + Ag) + § L dt] — [¦S0 (go) + §L dt] = ? Ys Yi
= S (A + ДЛ) — S (A).
При Ді —» 0, получаем dSldt = —Н, dS/dq = р, что и доказывает теорему.
Задача. Доказать единственность решения задачи (2).
Указание. Продифференцировать S вдоль характеристик.
Задача. Решить задачу Коши (2) при H = р2/2, S0 = gV2.
Задача. Нарисовать графики многозначных «функций» S (д) и P (я) ПРИ ' — 'з (рис. 201).
Ответ. См. рис. 203.
226
ГЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Точке самопересечения графика S соответствует на графике р прямая Максвелла: заштрихованные площади равны. График S (д, t) имеет особенность, называемую ласточкиным хвостом в точке (q = 0, t2).
§ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений Гамильтона
В этом параграфе определяется производящая функция свободного канонического преобразования.
