Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Б. Пространственное и временное средние. Пусть / (ф) — интегрируемая функция на торе Тп.
Определение. Пространственным средним функции / на торе Тп называется число
2Я 2Я
jf = (2л)-эт$... $/(<р)<гф1...<йрп.
о о
Рассмотрим значение функции / (ср) на траектории tp (t) = = <Ро + toi. Это — функция времени / (ср0 + toi). Рассмотрим ее среднее.
Определение. Временным средним функции / на торе Тп называется функция
т
/* (<Ро) «!im-jr^/ (еро + <»*)at
О
(определенная там, где предел существует).
Теорема об усреднении. Временное среднее всюду существует и совпадает с пространственным, если функция / непрерывна, а частоты сог независимы. Если функции f на торе и
*) Ic = (A1, . . ., An) с целыми Aj.
252
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
/ (фо + &І) на оси t итегрируемы по Риману, то временное среднее также существует и совпадает с пространственным.
З а д а ч а. Покажите, что если частоты зависимы, то временное среднее может не всюду совпадать с пространственным.
Следствие 1. Если частоты независимы, то каждая траектория {<р(0} всюду плотна на торе Тп.
Доказательство. Предположим противное. Тогда в окрестности D некоторой точки тора нет точек траектории <р(<). Легко построить непрерывную функцию /, равную нулю вне D и с пространственным средним / = 1. Временное среднее /* (<р0) на траектории <р(?) равно 0 Ф 1. Противоречие с утверждением теоремы доказывает следствие 1.
Следствие 2. Если частоты независимы, то каждая траектория равномерно распределена на торе Тп.
Это означает, что доля времени, которое траектория проводит в области D, пропорциональна мере D.
Точнее, пусть D — измеримая (по Жордану) область на Тп. Обозначим через Tp (T) количество времени, которое отрезок 0 ^ t T траектории <р(<) находится внутри D. (Мы предполагаем, что множество таких моментов времени, которые движущая точка проводит в области, измеримо.) Тогда
mes D
lim
Т-оо 1 (2л)"
Доказательство. Применим теорему к характеристической функции / множества D (J интегрируема по Риману, так
т
как область D измерима по Жордану). Тогда § f(q>(t))dt = Tj0 (T),
о
а / = (2я)_п mes D, и следствие непосредственно вытекает из теоремы.
Следствие. В последовательности
1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2,. . .
Ig8 — Ig 7
первых цифр чисел 2п число 7 встречается чаще, чем 8 в _раз.
Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике; она является одной из первых «эргодических теорем». Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля.
В. Доказательство теоремы об усреднении.
Лемма 1. Теорема верна для экспонент, / = е*<*> к Є= Z".
§ 51. УСРЕДНЕНИЕ
253
Доказательство. Если к = 0, то / = / = /* = 1 и теорема очевидна. Если к Ф 0, то / = 0. С другой стороны,
T
ег(*. «d)T _ j
І (/С, е>)
Поэтому временное среднее
lim
Т—оо
еН*. Фо) ь>)т_і
г (fc, со)
о,
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Теорема верна для тригонометрических полиномов
|fc|<jv
Доказательство. И временное и пространственное среднее зависят от / линейно, поэтому совпадают по лемме 1, ч. т. д.
Лемма 3. Пусть / — вещественная непрерывная (или хотя бы интегрируемая по Риману) функция. Тогда для любого г ^> О существуют два тригонометрических полинома P1, P2 таких, что P1 < / < P2,
yPa-P1)^e.
Доказательство. Пусть сначала / непрерывна. По теореме Вейершт-расса ее можно приблизить тригонометрическим полиномом Р, I / — P I < е/2. Полиномы P1 = P — е/2, P2 = P + е/2— искомые.
Если же / разрывна, но интегрируема по Риману, то существуют две непрерывные функции Д, /2, так что J1 < / < /2, (2л)-" J (/2 — Z1) гіф < є/З (рис. 222 соответствует характеристической функции отрезка). Аппроксимируя J1 и /2 полиномами
*і < /і < /2 < ^2, (2Л.Г $ (P2 - /2) ritp < е/3, (2п)-п $ (Д -— P1) гіф < е/3, получим требуемое. Лемма 3 доказана.
Теперь легко окончить доказательство теоремы. Пусть е ^> 0. Тогда по лемме 3 существуют тригонометрические полиномы P1 < / < P2, (2п)~п J (P2 — P1) гіф < е.
При любом T имеем тогда
Рис. 222. Аппроксимация функции / тригонометрическими полиномами P1 и Р»
t tt
jj Pi (<Р (0) dt < - J- S / (<Р (*)) dt < 4" S Р* (<Р (*))
254
ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИИ
По лемме 2, при T ^> T0 (е),
T
|*і-4-$*іМ'))*|<е (г = 1,2).
Далее, P1 < / < P2 и P2 — P1 < е. Поэтому P2 — J < е, / — — P1 < е; следовательно, при T > T0 (е)
$/(<р(0)
dt — f
<2є,
что и требовалось доказать.
З а д а ч а. Двумерный осциллятор с кинетической энергией T = Il 1
=-тр а2 +-«j-j2 и потенциальной энергией U = -^- ^2 + ^2 совершает
колебания с амплитудами а^. = 1, ay = 1. Найти временное среднее кинетической энергии.
Задача*). Пусть 0)? независимы, % > 0. Вычислить
й7-
Рис. 223. K задаче о среднем движении перигелиев
