Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
54
ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Например, в частном случае L = \fi + Ъ2 получаем длину кривой у.
Г г
Теорема. Функционал Ф (у) = J Z, (х, a-, f) Л дифференциру-
и
емый, и его дифференциал дается формулой
'»>-![-?--4-?-]**+(-?-»)Е-
Доказательство.
«.
Ф (Y + Щ — Ф(Г) = § + А, * + A. t) — L (х, х, t)] dt = «.
і,
=h-s-aчdf+0(л2)=f(h)+r>
где F (h) = ^ (-^-Л + -^jJ- dt, R = O (Л2). Интегрируя по час-и
тям, находим
1-й-**—^(тН*+(*-?-)С."-*
Б. Экстремали.
Определение. Экстремалью дифференцируемого функционала Ф (у) называется такая кривая у, что F Qi, у) = 0 при любом п.
(Точно так же, как у — стационарная точка функции, если в этой точке дифференциал равен нулю.)
Теорема. Чтобы кривая у: х = х (t) была экстремалью t,
функционала Ф (Y) = \ L (х,t) dt на пространстве кривых, про-
ходящих через точки х (Z0) = х0, х (Z1) = X1, необходимо и достаточно, чтобы вдоль кривой х (t)
d I dL \ dL г. ~Ж\дГ) дх ~~
Лемма. Если непрерывная функция } (t), t0 <^ t <^ tlt такова, «і
что^ f(t)h(t)dt = 0 для любой непрерывной *) функции h (t), для которой h (t0) = h (Z1) = 0, то f (t) = 0.
*) Или хотя бы для любой бесконечно дифференцируемой функции h.
§ 12. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 55
if*
_i_
/-(Л) = ^ a Jf/
- - S[4"(-If-)—S-]Л* + • Рис-42- Аоение фуик'
Внеинтегральный член равен нулю, так как h (t0) = h (Z1) = 0. Если Y — экстремаль, то F (h) = 0 при всех h, для которых
h (t0) ~ h (tt) = 0. Поэтому при всех таких h(t) § f{t)h(t)dt= 0,
*„
где / [t) = -^- (-fr1)--Ij-- По лемме / (?) ~ 0. Обратно, если
/ (f) == 0, то, очевидно, F (h) = 0, ч. т. д.
Пример. Проверим, что экстремали длины — прямые. Имеем:
— С, Ж = C1, X = C1I + C2.
V і+*2
В. Уравнение Эйлера — Лагранжа.
Определение. Уравнение -^- ("ff"-)--|§~ = 0 называется уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала
«і
Ф = $ L(x,x,t)dt. и
Пусть теперь ж — вектор «-мерного координатного пространства Y= {t, х: ж = X (t), t0 ^ t J1} — кривая re + 1-мерного пространства R X Rn, L: R"xR" X R->R - функция 2n + 1 аргумента. Аналогично предыдущей доказывается
Теорема. Чтобы кривая у была экстремалью функционала
0(Y) =^L(ac, sc,f)df на пространстве кривых ж (t), соединяющих
Доказательстволеммы. Пусть / (t*) ^> 0, t0 < t* <. <С tv В силу непрерывности / (t) ^> с в некоторой окрестности Д точки t*: t0 < t* — d < t <Z t* + d < tx; пусть h (t) = 0 вне А,
Л(0>0в Аи/і(і) = 1в —-|-<<<^ + -|-). Тогда.оче-
видно, ^ f(t)h(t)dt > de > 0 (рис. 42). Полученное противоречие
доказывает, что /(t*) = 0 для всех t0 < < t* < tx, ч. т. д.
Доказательствотеоремы. # По предыдущей теореме , ^ "^,
56
ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
две данные точки (t0, х0), (Z1, X1), необходимо и достаточно выполнение вдоль нее уравнения Эйлера — Лагранжа
d dL dL _q
dt дх дх
Это — система п уравнений второго порядка, и решение зависит от 2п произвольных постоянных. Для нахождения их служат 2га условий ж (Z0) = х0, х (Z1) = X1.
Задача. Приведите примеры, когда экстремалей, соединяющих две данные точки, много и когда их нет совсем.
Г. Важное замечание. Свойство кривой у быть экстремалью функционала не зависит от выбора системы координат.
Например, один и тот же функционал — длина кривой — в декартовых и полярных координатах дается разными формулами
«і _ h
фдек = J + % dt, Фиол = j Vt» + *pat. LA> 'о
Экстремали одни и те же — прямые линии на плоскости. Уравнения прямых в декартовых и полярных координатах задаются различными функциями: xi = X1 (t), X2 = х2 (t); г = г (t), ф = ф (*). Однако и те и другие функции удовлетворяют уравнению Эйлера—Лагранжа
d I dL \ дЬ_
~d7\di )~ дх ' _
только в первом случае хдек = X1, х2\ ?дек = ТА*2 + а во втором —
*Пол = г. ф; ?дал = Y^ + rV.
Таким образом, мы легко можем написать дифференциальное уравнение семейства всех прямых в любых координатах.
Задача. Напишите дифференциальное уравнение семейства всех прямых в полярных координатах на плоскости.
§ 13. Уравнения Лагранжа
Здесь указан вариационный принцип, экстремалями которого являются решения ньютоновских уравнений движения потенциальной системы.
Сравним уравнения динамики Ньютона
4^«)+-?-=0 (1>
с уравнением Эйлера—Лагранжа -J^- -^---=0.
А. Принцип наименьшего действия Гамильтона.
Теорема. Движения механической системы (1) совпадают
«і
с экстремалями функционала Ф (у) = ^ L dt, где L = T — U —
и
разность кинетической и потенциальной энергий.
§ 13. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 57
Доказательство, Так как U = U (г), T -—
DIi —TT- , TO
дЬ дТ . dL OU
ЯМЄЄМ—— = —т— = їПіГ.
д'Гі Or1 г " dr. dr.
Следствие. Пусть (qt, . . ., q3n) — любые координаты в конфигурационном пространстве системы п материальных точек. Тогда изменение q со временем подчиняется уравнениям Эйлера — Лагранжа
d
dt
