Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
10. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ п ТОЧЕК
45
где FtJ — силы взаимодействия, a Fi (i't) — так называемая внешняя сила.
Пример (рис. 39). Разобьем замкнутую систему на две части / и //. Сила F1, приложенная к і-й точке системы /, определяется силами взаимодействия внутри системы / и силами, действующими на і-ю точку со стороны точек системы //, т. е.
Fi — внешняя сила по отношению к рассматриваемой системе I, Б. Закон сохранения импульса.
Определение. Импульсом (или количеством движения) системы называется вектор
п
J?= ^m1V1.
Рис. 39. Внутренние и внешние силы
Теорема. Скорость изменения количества движения системы равна сумме всех внешних сил, действующих на точки системы» Доказательство.
г=1
г, 3
Действительно, 51 Ftj = 0, так как для сил взаимодействия F11 =
г, І \ у
Следствие 1. Количество движения замкнутой системы сохраняется.
Следствия 2. Если сумма внешних сил, действующих на систему, перпендикулярна оси х, то проекция Px количества движения на ось х сохраняется: Px = const.
Определение. Центром инерции системы называется точка
г =
S "Vi
Задача. Доказать, что центр инерции определен корректно, т. е. не зависит от выбора начала отсчета радиусов-векторов.
Количество движения системы равно количеству движения точки, лежащей в центре инерции системы и имеющей массу, равную Sm1-.
46
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
В самом деле, (SmO** = Б(т{Гг), откуда (2т{)Л = 2т;гг.
Мы можем теперь сформулировать теорему о количестве движения как теорему о движении центра инерции.
Теорема. Центр инерции системы движется так, как если бы все массы были сосредоточены в нем и все силы были приложены к нему.
Доказательство. ^mt) г = Р, поэтому ^mij ^ =
г
Следствие. Если система замкнута, то центр инерции ее движется равномерно и прямолинейно.
В. Закон сохранения кинетического момента.
Определение. Кинетический момент материальной точки относительно точки О есть момент вектора импульса относительно точки О:
M = [г, тпґ].
Кинетическим моментом системы относительно точки О на-зычается сумма кинетических моментов точек системы:
п
M = S Ь'і, тіїі]. j=i
Теорема. Скорость изменения кинетического момента системы равна сумме моментов внешних сил, действующих на точки системы.
Доказательство.
п п
Первое слагаемое равно нулю, а второе, согласно уравнениям Ньютона, равно
2 [гь Fi) = S [rit ( S Fij + Fl)] = 2 Ь, -
Действительно, сумма моментов двух сил взаимодействия равна нулю, ибо
Fa = - FH, [V1, Fi}] + [г,, FH] = [(V1 - rt), Fa) = 0. Поэтому равна нулю сумма моментов всех сил взаимодействия:
S Ь, S Jf«] = о.
Итак, ,., n
—г-=2j ij'ч*т-д'
§ 10. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ п ТОЧЕК
47
Следствиеі. (Закон сохранения кинетического момента.) Если система замкнута, то M = const.
ті ^
Обозначим сумму моментов внешних сил через If = 2 [гг, F1].
m - dM -кт
Тогда по доказанной теореме —= Jx , откуда вытекает
Следствие 2. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то M2 сохраняется. Г. Закон сохранения энергии.
Определение. Кинетической энергией точки массы т называется
Определение. Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий точек:
tl ' п
'-2-ї1-
где mt — массы точек, rt — их скорости.
Теорема. Приращение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы.
Доказательство.
dT
Il Il Ib
^m1 (гг, 7\) = (гг, тгі\) = (i\, F1).
dt _
г=1 г=1 г=1
Поэтому
t п t n
T(I)-T (t0) = J = ? J (гг, F1)Ut = A1, ч. т. д.
to г=1 t„ г=1
Конфигурационное пространство системы п материальных точек в E3 есть прямое произведение п евклидовых пространств: Езп = E3 X ... X E8. Оно имеет само структуру евклидова пространства. Обозначим через г = (T1, . . ., гп) радиус-вектор точки конфигурационного пространства, а через F = (F1, . . ., Fn) — вектор силы. Предыдущую теорему можно записать в виде
пи) t,
T (h) - T (Q = j (F, dr) = j (г, F) dt.
r(to) t.
Иными словами:
Приращение кинетической энергии равно работе Зп-мерной «силы» F на «пути» г (t) в конфигурационном пространстве.
Определение. Система называется потенциальной (или консервативной), если силы зависят только от положения точек
48
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
системы: F = F (г), и работа F на любом пути зависит только от начальной и конечной точек пути:
M1
I (F^r) = O(M1, M2).
M1
Теорема. Для потенциальности системы необходимо и достаточно, чтобы существовала потенциальная энергия, т. е. такая функция U (г), что
дії
F =
дг
Доказательство. См. § 6, Б.
Теорема. Полная энергия потенциальной системы E = = T + U при движении сохраняется: E (?) = E (t0). Доказательство. По доказанному выше
«•(«•)
T (h) - T (t0) = $ (F, dr) = U (г (tB)) -U (г (А)), ч. т. д.
Пусть все силы, действующие на точки системы, делятся на силы взаимодействия и внешние силы: