Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
При А = —2 получаются параболические орбиты w = (1 + iy)2. В общем случае получаются орбиты г = seca (ф/а), соответствующие параболам— «нейтральные» орбиты поля степени А = 21а — 3.
При а=—5 получается А =—5 и а = —1. Нейтральные орбиты — окружности, проходящие через нуль, и мы получаем теорему Ньютона: при движении в центральном поле, сила которого обратно пропорциональна пятой степени расстояния до центра, среди орбит имеются окружности, проходящие черев центр.
Конформное преобразование w (z) переводит орбиты движения в поле с потенциалом U (г) = | diojdz |2 в орбиты движения в поле с потенциалом V(W) = —\ dz/dw I 2 (см. § 45, Г).
§ 9. Движение точки в трехмерном пространстве
В этом параграфе определяется кинетический момент относительно оси и доказывается, что при движении в осесимметричном поле он сохраняется.
А. Потенциальное поле. Рассмотрим движение в потенциальном поле
dU
дг
, где U = U (г), г Є E3.
Имеет место закон сохранения энергии:
-^- = 0(где E = \r* + U(г)).
Б. Центральное поле. Закон сохранения момента количества движения M = [г, г]. При движении в центральном поле вектор Ж не меняется:
§ В. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ B ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
43
Всякое центральное поле потенциально (доказывается, как в двумерном случае), и
-?- =[r,r] + [r,r] = 0,
так как г = —dUldr, а вектор dUldr коллинеарен г ввиду центральности поля.
Следствие. При движении в центральном поле всякая орбита плоская.
Доказательство. (M', г) = ([г,г], г) = 0, следовательно, V (t) _[_ М, а так как M = const, то вся орбита лежит в плоскости, перпендикулярной к M *). Итак, исследование орбит в центральном поле в пространстве сводится к плоской задаче, разобранной в предыдущем параграфе.
Задача. Исследовать движение в центральном поле в п-мерном^евк-лидовом пространстве.
В. Осесимметричное поле.
Определение. Векторное поле в E3 имеет осевую симметрию, если оно инвариантно относительно группы вращений пространства, оставляющих на месте каждую точку некоторой оси.
Задача. Докажите, что если поле осесимметрично и потенциально, то его потенциальная энергия имеет вид U = U (г, г), где г, <р, z — цилиндрические координаты.
В частности, отсюда вытекает, что вектор поля лежит в плоскости, проходящей через ось Z.
Примером такого поля может служить поле тяготения, созданное телом вращения.
Пусть z — ориентированная ортом ег ось в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве E3, F — вектор евклидова линейного пространства R3, О — точка на оси z, г X — OgR3 — радиус-вектор точки х єе E3 относительно О (рис. 37).
Определение. Моментом Мг вектора F, приложенного в точке г, относительно оси z называется проекция на эту ось момента вектора F относительно какой-нибудь точки оси z:
М, = (е-, [г, F\). Рис. 37. Момент
1 вектора F отно-
Число Mz не зависит от выбора точки О на оси z. сительно оси Действительно, рассмотрим точку О' на оси, тогда по свойству сметанного произведения:
Mz = (ег, Ir', F}) = (1ег, г'], F) = (lez, г], F) = Мг.
Замечание. M1 зависит от выбора направления оси z: если изменить ег на —ez, то Mt изменит знак.
*) Случай M = О оставляется читателю.
44
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Теорема. При движении в потенциальном поле с осевой симметрией вокруг оси z момент количества движения относительно оси z сохраняется.
Доказательство. M2 = (ez, Ir, г]),
Mz = (ez, [г, г]) + (е„ [г, г]) = О,
так как г = F, следовательно, г и г лежат в плоскости, проходящей через ось z, следовательно Ir, г] перпендикулярно ez.
Замечание. Доказательство сохраняет силу для всякого силового поля, у которого вектор силы F лежит в плоскости г и ez.
§ 10. Движение системы п точек
В этом параграфе доказываются законы сохранения энергии, импульса и кинетического момента для системы материальных точек в E3.
А. Внутренние и внешние силы. Уравнениями Ньютона для движения системы п материальных точек с массами mt и радиусами-векторами ггє E3 называются уравнения
тар, = Ft, і = 1, 2, . . ., п.
Вектор F1 называется силой, действующей на і-ю точку.
Силы F1 определяются экспериментально. Наблюдения показывают, что часто в системе из двух точек эти силы равны по величине, действуют вдоль прямой, соединяющей точки, и противоположно направлены (рис. 38).
Такие силы называются силами взаимо-Рис. 38. силы взаимо- действия. (Пример: силы всемирного тяготе-
действия шя>)
Если все силы, действующие на точки системы, являются силами взаимодействия, то система называется замкнутой. По определению, в замкнутой системе сила, действующая на і-ю точку, есть
Fi = S Різ-
3=1
І^І
Вектор Ftj называется силой, с которой /-я точка действует на і-ю.
Так как силы Fi} и Fjt противоположны (F1J = —Fn), то можно записать их в виде FtJ = Ufin-. где/Ї7- = f]t определяет величину силы, a etj — орт направления от і-й точки на j-ю.
Если система не замкнута, то часто можно представить действующие на нее силы в виде
