Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
? = {а, х}, oGj, X ЕЕ 9*.
Теперь мы готовы определить значение симплектической 2-фор-мы Q на паре векторов I1, ?а, касательных к орбите точки х. Именно, мы выражаем ^1 и Ej2 через какие-нибудь элементы алгебры O1 и аг по предыдущей формуле, а затем составляем из двух элементов алгебры и одного элемента дуального к ней пространства скаляр
& (lit У = (? Ia1, аг]), ж ЕЕ 9*, а,- E= $.
Легко проверить, что: 1) билинейная форма Q определена корректно, т. е. ее значение не зависит от произвола в выборе at; 2) форма Q кососимметрична и, следовательно, задает дифференциальную 2-форму й на орбите; 3) форма Q невырождена и замкнута (доказательства имеются, например, в добавлении 5).
Итак, форма Q является симплектической структурой на орбите коприсоединенного представления.
Б. Левоинвариантные метрики. Риманова метрика на группе Ли G называется левоинвариантной, если она сохраняется при всех левых сдвигах1 Lg, т. е. если производная левого сдвига переводит каждый вектор в вектор такой же длины.
Левоинвариантную риманову метрику достаточно задать в одной точке группы, например в единице: тогда в остальные точки метрику можно принести левыми сдвигами. Таким образом, лево-инвариантных римановых метрик на группе столько же, сколько евклидовых структур на алгебре.
Евклидова структура на алгебре определяется симметрическим положительно определенным оператором, действующим из алгебры в дуальное к ней пространство. Итак, пусть Л: g д* —
288
ДОБАВЛЕНИЕ 2
симметрический положительный линейный оператор: (Al, т|) = (Ar\, I) для всех ?, и из g.
(Положительность А не очень существенна, но в механических приложениях квадратичная форма (А ?, ?) положительно определена.)
Определим симметрический оператор Ag: TGg -*~ T*Ge левым сдвигом:
AgI = L^1ALg-Ut Мы получаем, таким образом, следующую коммутативную диаграмму линейных операторов
Ad,
8->а
Y
*
Adg
Определенное оператором Лй скалярное произведение будем обозначать угловыми скобками:
<1. П>« = (AgZ,, ц) = (AgH, ?) = <т), g>e.
Это скалярное произведение задает на группе G риманову метрику, инвариантную относительно левых сдвигов.
Скалярное произведение в алгебре будем обозначать просто Определим операцию В: 9 х 9 -+¦ $ тождеством
<[а, 6], с> == <? (с, a), by для всех Ь из д.
Ясно, что операция В билинейна и при фиксированном первом аргументе кососимметрична по второму:
(В (с, a), by + <? (с, Ъ), аУ = 0.
В. Пример. Пусть G = S0(3) — группа вращений трехмерного евклидова пространства, т. е. конфигурационное пространство твердого тела, закрепленного в точке. Движение тела описывается тогда кривой g = g (t) на группе. Алгебра Ли группы G — это трехмерное пространство угловых скоростей всевозможных вращений. Коммутатор в этой алгебре — обычное векторное произведение.
Скорость вращения тела g есть касательный вектор к группе в точке g. Чтобы получить угловую скорость, нужно перенести этот вектор в касательное пространство к группе в единице, т. е. в алгебру. Но это можно сделать двумя способами: левым и правым сдвигом. В результате получаются два разных вектора в
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
289
алгебре:
сос = Lg-^g Є g, W8 = i?g-.*g Є 9-
Эти два вектора не что иное, как «угловая скорость в теле» (corps) и «угловая скорость в пространстве» (space).
Действительно, элементу g группы G отвечает такое положение тела, которое получается из некоторого начального состояния (соответствующего единице группы и выбираемого произвольно) движением g. Пусть (о — элемент алгебры.
Однопараметрическую группу вращений с угловой скоростью ш мы обозначим через eat: to — это касательная к указанной однопараметрической группе в единице. Теперь рассмотрим перемещение
eaxg, где g = g (t) є Є, to є 8, т <С 1,
полученное из перемещения g поворотом с угловой скоростью ш за малое время т. Если вектор g совпадает с вектором
то ш называется угловой скоростью относительно пространства и обозначается ш5. Следовательно, ш5 получается из g правым сдвигом. Аналогично доказывается, что угловая скорость в теле есть левый сдвиг вектора g в алгебру.
Дуальное к алгебре пространство д* в нашем примере — это пространство кинетических моментов.
Кинетическая энергия тела определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве. Следовательно, кинетическая энергия задает левоинвариант-ную риманову метрику на группе. Задающий эту метрику симметрический положительно определенный оператор Ag: TGg -*• —*- T*Gg называется оператором (или тензором) инерции; он связан с кинетической энергией формулой
1111
t = ~y <g, g>g = ~y <(oc, (oc> = ~2" (4(oc, (oc) = (Agg, g),
где A: g -*¦ g* есть значение Ag при g = е.
Образ вектора g под действием оператора инерции Ag называется кинетическим моментом и обозначается через M = Agg,
Вектор M лежит в кокасательном пространстве к группе в точке g, и его можно перенести в кокасательное пространство к группе в единице как левыми, так и правыми сдвигами. Получаются два вектора
