Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Мы назовем точку M пространства моментов регулярной точкой, если разбиение окрестности точки M на орбиты диффеоморфно разбиению евклидова^ пространства на параллельные плоскости (в частности, все орбиты, близкие к точке М, имеют одинаковые размерности). Например, для группы вращений трехмерного пространства регулярны все точки пространства моментов, кроме начала координат.
Теорема' 8. Предположим, что регулярная точка M пространства моментов является критической точкой энергии на орбите коприсоединенного представления, и что второй дифференциал энергии d2H в этой точке — знакоопределенная квадратичная форма. Тогда M — устойчивое (по Ляпунову) положение равновесия уравнения Эйлера.
Доказательство состоит в том, что вследствие регулярности на соседних орбитах рядом с точкой M есть условный максимум или минимум энергии.
Теорема 9. Второй дифференциал кинетической энергищ суженной на образ орбиты коприсоединенного представления в алгебре, дается в*критической точке со €=. Q формулой
2^Я|Ю (?) = (В (to, /), В (со, /)> + <[/, col, В (со, /)>,
где I — касательный вектор к указанному образу, выражающийся
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК
295
через j по формуле
Б = В (со, /), / E= 9-
Е. Риманова кривизна группы с левоинвариантной метрикой.
Пусть G — группа Ли, снабженная левоинвариантной метрикой. Пусть <,> — скалярное произведение в алгебре, задающее эту метрику. Заметим, что риманова кривизна группы G в любой точке определяется кривизной в единице (так как левые сдвиги переводят группу в себя изометрически). Поэтому кривизну достаточно вычислить для двумерных плоскостей, лежащих в алгебре Ли.
Теорема 10. Кривизна группы в направлении, определенном ортонормированной парой векторов Б, 4 из алгебры, дается формулой
Щ.Т1 = <6, б> + 2 <GC, ?> - 3<GC, GC> - 4 <% Вгї,
где 26 = В (Б, г,) + В (T1, Б), 2? = В (Б, г,) _ В (г,, Б), 2а = = [Б, T]L 2Щ = В (Б, Б), 2^T1 = ? (т), т)), и где В — операция, определенная в пункте Б (стр. 288).
Доказательство — утомительное, но прямое вычисление. Оно основано на легко проверяемой формуле для ковариантной производной
Ые = -L ([Б, п]--в (Е. ч) - я (ч. S)),
где Б и T) слева — левоинвариантные векторные поля, а справа — их значения в единице.
Замечание 1. В частном случае двусторонне инвариантной метрики формула для кривизны принимает особенно простой вид
*і.ч = 4-<Е'ЧМЕ.Ч]>-
Замечание 2. Формула для кривизны группы с право-инвариантной римановой метрикой совпадает с формулой для левоинвариантного случая. Действительно, правоинвариантная метрика на группе есть левоинвариантная метрика на группе с перевернутым законом умножения (gi*g2 = g2gi)- Переход к перевернутой группе меняет знаки коммутатора и операции В в алгебре одновременно. Но в каждом слагаемом формулы для кривизны стоит произведение двух меняющих знак операций. Следовательно, формула для кривизны сохраняет силу в правоин-вариантном случае.
В уравнении Эйлера при переходе к правоинвариантному случаю меняется знак правой части.
Ж. Приложения к группе диффеоморфизмов. Пусть D — ограниченная область в римановом многообразии. Рассмотрим группу диффеоморфизмов области D, сохраняющих элемент объема. Мы будем обозначать эту группу через SD if f.D.
296
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Алгебра Ли, соответствующая группе SDiffZ), состоит из всех векторных полей дивергенции 0 на D, касающихся края (если он не пуст). Определим скалярное произведение двух элементов этой алгебры Ли (т. е. двух векторных полей) как
где (•) — скалярное произведение, задающее риманову метрику на D, a dx — рпманов элемент объема.
Рассмотрим теперь течение однородной идеальной (несжимаемой, невязкой) жидкости в области D. Такое течение описывается кривой t gt на группе SDiff D. А именно, диффеоморфизм gt — зто отображение, которое переводит каждую частицу жидкости из того места, где она была в момент времени 0, в то место, где она окажется в момент U
Оказывается, кинетическая энергия движущейся жидкости— это правоинвариантная риманова метрика на группе диффеоморфизмов SD iff D.
В самом деле, пусть за время t течение жидкости осуществило диффеоморфизм gt, а скорость в этот момент времени задается векторным полем v. Тогда диффеоморфизм, осуществляемый течением за время t-f- т (где т мало) будет evxgt с точностью до малых по сравнению с т величин (здесь е1"1 — это однопараметрическая группа с вектором скорости v, т. е. фазовый поток заданного полем v дифференциального уравнения).
Следовательно, поле скоростей v получается из касательного к группе в точке g вектора g правым сдвигом. Отсюда и следует правоинвариантность кинетической энергии, которая, по определению, равна
(плотность жидкости мы считаем равной 1).
Принцип наименьшего действия (который в математическом отношении есть определение идеальной жидкости) утверждает, что течения идеальной жидкости являются геодезическими описанной правосторонне инвариантной метрики на группе диффеоморфизмов.
Строго говоря, бесконечномерная группа диффеоморфизмов не является многообразием. Поэтому точная формулировка предыдущего определения требует дополнительной работы: нужно выбрать подходящие функциональные пространства, доказать теоремы существования и единственности решений и т. д. До сих пор это удалось сделать только в случае, когда размерность области течения D равна 2. Мы, однако, будем действовать так, как если бы этих трудностей, связанных с бесконечномерностью, не существовало. Таким образом, дальнейшие рассуждения носят эвристический характер. Впрочем, многие результаты можно обосновать строго, независимо от теории бесконечномерных многообразий.
