Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
3. Уравнение Якоби. Кривизна риманова многообразия тесно связана с поведением его геодезических. В частности, рассмотрим геодезическую, выходящую из какой-либо точки по какому-либо направлению, и немного изменим начальные условия, т. е. начальную точку и начальную скорость. Новые начальные условия определят новую геодезическую. Эта геодезическая вначале мало отличается от исходной. Для исследования отклонения полезно линеаризовать вблизи исходной геодезической дифференциальное уравнение геодезических.
Получающееся при этом линейное дифференциальное уравнение второго порядка («уравнение в вариациях» для уравнения геодезических) называется уравнением Якоби, и его удобно записать через ковариантные производные и тензор кривизны.
Обозначим через х (t) точку, движущуюся по геодезической многообразия M с постоянной по величине скоростью V (t) Є Є TMx(ty
Если начальное условие гладко зависит от параметра а, то геодезическая тоже гладко зависит от параметра. Рассмотрим движение, соответствующее значению параметра а. Положение в момент t точки на соответствующей геодезической обозначим через X (t, а) Є= М. Мы будем считать, что начальная геодезическая соответствует нулевому значению параметра, так что X (t, 0) = X (t).
РИМАНОВА КРИВИЗНА
275
Векторным полем вариации геодезической называется производная функции X (t, а) по параметру а при а = 0; значение этого поля в точке X (t) равно
Чтобы записать уравнение в вариациях, определим еще кова-риантную производную по t векторного поля ? (t), заданного на геодезической X (t). Определение состоит в том, что мы должны взять вектор ? (t + h), параллельно перенести его из точки x(t + h) в точку X (t) вдоль геодезической и затем продифференцировать получившийся вектор в касательном пространстве TMxQ) по h при h = 0. В результате получается вектор касательного пространства TMx(t), который называется ковариантной производной поля ? (t) по t и обозначается через DZ1IDt.
Теорема. Векторное поле вариации геодезической удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка
-gJ- = _G(,,,g)„, (4)
где Q — тензор кривизны, av = v (t) — вектор скорости движения по исходной геодезической.
Обратно, всякое решение дифференциального уравнения (4) является полем вариации исходной геодезической.
Уравнение (4) называется уравнением Якоби.
Задача. Докажите сформулированную теорему.
Задача. Пусть M — поверхность, у (t) — величина составляющей вектора 4 (<) по нормали к рассматриваемой геодезической, и пусть длина вектора V (t) равна 1. Докажите, что у удовлетворяет дифференциальному уравнению
У = -Ку, (5)
где К = К (t) — риманова кривизна поверхности в точке х (t).
Задача. Пользуясь уравнением (5), сравните поведение геодезических, близких к данной, на сфере (К = + R~2) и на плоскости Лобачевского (К = -1).
И. Исследование уравнения Якоби. При исследовании уравнений в вариациях полезно исключить тривиальные вариации, сводящиеся к изменению начала отсчета времени и величины начальной скорости движения. С этой целью разложим вектор вариации I на параллельную и перпендикулярную вектору скорости V составляющие. Тогда (ввиду Q (v, v) = 0 и ввиду кососимметричности оператора Q(v, |)) для нормальной составляющей мы получим снова уравнение Якоби, а для параллельной — уравнение D2IIDt2 = 0.
Заметим теперь, что уравнение Якоби для нормальной составляющей можно переписать в виде «уравнения Ньютона»
JD2E
276
ДОБАВЛЕНИЕ і
где квадратичная форма U от вектора | выражается через тензор кривизны и пропорциональна кривизне К в направлении плоскости (I, v):
U (I) = 4" <? (v, Qv,V>=±-K а, !><*>, v>.
Таким образом, поведение нормальной составляющей вектора вариации геодезической, проходимой со скоростью 1, описывается уравнением (неавтономного) линейного осциллятора, потенциальная энергия которого равна половине произведения кривизны в направлении плоскости векторов скорости и вариации на квадрат длины нормальной составляющей вариации.
В частности, рассмотрим случай, когда кривизна по
Рис. 234. Близкие геодезические на многооб- ВСЄМ ДВумерНЫМ направлени-разиях полошительнойи отрицательной кри- ^ содержащим ВЄКТОР СКОРОСТИ геодезической, отри--цателъна (рис. 234). Тогда отклонение близких геодезических от данной по нормали описывается уравнением осциллятора с отрицательно определенной (и зависящей от времени) потенциальной энергией. Следовательно, нормальная составляющая отклонения близких геодезических ведет себя как отклонение от вершины горы шарика, находящегося вблизи этой вершины. Положение равновесия шарика на вершине неустойчиво. Это значит, что близкие к данной геодезические будут экспоненциально уходить от нее.
Если бы потенциальная энергия получающегося уравнения Ньютона не зависела от времени, наш вывод был бы вполне строгим. Более того, предположим, что при этом кривизны по разным направлениям, содержащим v, заключены в пределах
—а? < К < —Ь2, где 0 < Ъ < а.
Тогда решения уравнения Якоби для нормальных отклонений будут линейными комбинациями экспонент с показателями где положительные числа Лі заключены между а и Ъ.
