Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заменяя многообразия и отображения их ростками в соответствующих точках, получим локальные определения устойчивости. Будем рассматривать бесконечно дифференцируемые, аналитические и формальные локальные диаграммы.
Примеры. 1. В случае диаграммы M Л- N получаем определение устойчивости гладкого отображения под действием произведения групп диффеоморфизмов MmN (см. Мазер [67]).
2. Рассмотрим диаграмму Rn X M1 4- R" X M2 X Rn, где р — проекция и P имеет специальный вид: P (и, х) = (и, F (и, х)) ^ 6 R nXM2 для всех (и, х) ^ R" X M1. Устойчивость такой диаграммы эквивалентна устойчивости гладкого семейства F (и, х) отображений xv-* F (•, х), зависящего от параметров и G Rn (см. [47], [151], [187]).
3. В работах Вассермана [188], [189], Дюбуа, Дюфура [109] Арнольда [93], Закалюкина [56], Голубицкого, Шефера [124] рассматривается так называемая (г, я)-устойчивость семейств функций F (и, V, х), зависящих от двух групп параметров и ? Rr, » 6 R'. Такая устойчивость есть устойчивость диаграмм вида
Rr X R* X M14- Rr X Rs X R -4 Rr X R* Л- R',
где р, q — естественные проекции, P (и, v, x)=(u, v, F (и, v, х)), F (и, и, х) — гладкая функция.
Диаграммы такого вида тесно связаны с перестройками во времени каустик лагранжевых отображений. А именно, функция F, рассматриваемая как производящая, порождает лагранжево многообразие в кокасательном пространстве к пространству па- § 10]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
135
раметров RrXR*. Критические значения проекции этого лагранжева многообразия на Rr X R* образуют «большую» каустику К (К — это множество тех и, V, для которых функция F (U, V, •) имеет вырожденные критические точки по х). Поверхности уровня u=const разбивают большую каустику на малые и определяют перестройку малых каустик при изменении v. В приложениях v играет роль времени.
Таким образом, возникают три классификационных задачи: 1. (г, s) — классификация семейств функций. 2. Классификация
перестроек каустик, т. е. диаграмм вида /f Rr X R8 R8, где К — каустика лагранжева отображения и первая стрелка — вложение. 3. Классификация перестроек лагранжевых отображений,
т. е. диаграмм вида Л r*(Rr X Ri) ^R'XR'-^ Ri, где А Т* (RrXRs) — вложение лагранжева многообразия, я —естественная проекция, и при этом обычная эквивалентность диаграмм заменяется на эквивалентность, в которой диффеоморфизм кокасательного пространства Т* (RrXRs) обязан быть симплекти-ческим.
Эквивалентности в этих задачах связаны соотношением 3 =>' 1 => 2. А именно, из (г, я)-эквивалентности семейств функций вытекает эквивалентность перестроек отвечающих им каустик. Кроме того, для любых эквивалентных диаграмм из 3 существуют производящие их семейства функций, которые (г, ,^-эквивалентны. Классификации 1—3 попарно различны. В 3 росток перестройки устойчив, только если при и=0 соответствующее ла-гранжево отображение устойчиво, (г, з)-устойчивых семейств больше, они расклассифицированы Вассерманом [190]. Функция F (щ, U2, V, x)=x*—(v—u\) X2-U2X дает пример не (г, з)-устойчи-вого семейства, для которого соответствующая перестройка каустики устойчива в смысле 2 (это доказывается проверкой соответствующихТинфинитезимальных условий).
Практически наиболее полезной является задача 2.
/і л
4. Диаграммы вида M2 M1 M3 возникают при исследовании особенностей огибающих семейства подмногообразий (см. Арнольд [93], Дюфур [111]) или при рассмотрении устойчивости отображения Z1XZ2 под действием группы диффеоморфизмов прообраза и произведения групп Diff (M2) X Diff (M3) в образе M2 X Mg.
5. С диаграммами V0-^M1X-M2, где і — вложение, связана классификация особенностей гладких отображений группой диффеоморфизмов, оставляющих инвариантным подмногообразие F0. Простые особенности диаграмм вида (R"-1, 0)<ч» (R", 0) Л- Л (т. е. функции на многообразии с краем) изучены Арнольдом в [14]. І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
6. Устойчивость каскадов, т. е. диаграмм вида
M1 Дм2Д ...
рассмотрена в работах Басса [97], Бюхнера [103].
f
7. Рассмотрим M —> М, где на / сопряжением действует группа диффеоморфизмов Diff (M): g (/)—gfg'1. Изучение особенностей такого действия — классическая задача Пуанкаре—Зигеля. С помощью техники малых знаменателей она исследовалась в работах Колмогорова, Арнольда, Брюно (см. также работы Белицкого [22], [23], Гомозова [48], [49]).
Целью изучения каждого примера является описание устойчивых диаграмм либо диаграмм общего положения при малых размерностях многообразий.
Обозначим через QV пространство векторных полей на многообразии V, являющееся модулем конечного типа над кольцом Cco (F) гладких функций на F. Для отображения /: F-> W обозначим через Qf пространство вертикальных векторных полей на графике отображения /. Пространство 0/ является Cco (У)-модулем конечного типа. Обозначим через tf: 0F -> 0/ гомоморфизм, заданный формулой tf (Vj—df (?), и через ш/: QW Qf отображение о)/(т)) = т)о/, являющееся гомоморфизмом над f*Cw(W). Для диаграмм D положим BD=YlQfk и AJD=TIBMj. Обозначим через aD отображение aD: AD -> QD:
