Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
328- Теорема2 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция /(ж) имеет (k + 1)-й дифференциал для любого ж Є 0(a, є), где є — некоторое положительное число. Тогда для любой точки b Є 0(a, є) существует точка с = a+e(b—a), 0 < в < 1, такая, что
fib)=m+±d-im
і
J=I
+ dk+im
dx —х — a
(/: + 1)!
dx—b~a
Доказательство. Пусть g(t) = f(a + t(b — a)). Тогда по формуле Тейлора для одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа имеем
»m - піл 4- 4. srwW 4.
P(I) - 5(0) + — + ¦ ¦ ¦ + -Ji- + ^rnjr,
где 0 < в < 1 — некоторая постоянная. Поскольку справедливы равенства
,<*+»(<?) = rf*+'/(c)U=5_a>
подставляя их в предыдущее соотношение, получим утверждение теоремы! Теорема 2 доказана.
Замечание. Подчеркнем разницу в условиях существования формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа (теоремы 1 и 2). Она состоит в том, что в первом случае ^-кратная дифференцируемость функции /(ж) предполагается только в точке ж = а, в то время как во втором случае требуется (k + 1)-кратная дифференцируемость ее в окрестности 0(a,s). Обратим внимание на то, что в случае функции одной переменной А:-кратная дифференцируемость ее в точке ж = а обеспечивает (к — 1)-кратную дифференцируемость в окрестности, в кратном же случае это условие дает существование в этой окрестности только частных производных до (к — 1)-го порядка включительно. Лекция 24
§ 8. ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение точки локального экстремума для функции многих переменных дословно совпадает с аналогичным понятием для функции одной переменной, и, вообще, для функций, определенных в любом метрическом пространстве, только ^-окрестность точки, в которой функция имеет экстремум, определяется соответствующей метрикой.
Определение 1. Точка a Є Kn называется точкой строгого локального максимума функции f(x), если существует є-окрестность 0(a, ?) точки a такая, что для любой точки х ф а и z Є 0(a, є) имеем неравенство f(x) < f(a);
если f(x) < /(a), то точка a — точка нестрогого максимума; если f(x) > f(a), то точка a — точка строгого минимума; если f(x) > f(a), то точка a — точка нестрогого минимума. Строгие локальные максимумы и минимумы в точке называются локальными экстремумами в точке,. а нестрогие — нестрогими локальными экстремумами в точке.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если a — точка локального экстремума (нестрогого) функции f(x) и существует дифференциал df(x) ее в этой точке, то для любого приращения Ax имеем
d/(*)l*=s = иля Krad /(*)1*=а = Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что при s=l,...,n выполняются равенства
df(x)
дх.
= 0.
?=й
Рассмотрим функцию g(i) = f(a -Me5), где ё, — направляющий вектор оси Oxt. Тогда ясно, что g(t) имеет в нуле точку локального экстремума, откуда </'(0) = 0. Но так как
-^-?(0)-0,
то это доказывает утверждение теоремы 1.
Определение 2. Точка a, в которой градиент функции f(x) обращается в O, называется стационарной точкой функции f(x).
Заметим, что второй дифференциал d2f(x) функции f(x) в точке X = a Є Rn является квадратичной формой от п переменных dx j,..., dxn.
ззо Определение 3. Стационарная точка a функции /(х) называется регулярной, если в этой точке существует второй дифференциал d2f(x), и он является невырожденной квадратичной формой от переменных dx\,..., dxn} т.е. определитель матрицы этой квадратичной формы отличен от нуля.
Перейдем теперь к выводу достаточного условия экстремума функции.
Теорема2 (достаточное условие экстремума). Пусть a есть регулярная стационарная точка функции /(х), т.е. дифференциал этой функции в точке а обращается в нуль и существует второй дифференциал в этой точке с невырожденной квадратичной формой от переменных dx і,..., dxn. Тогда
1) если в этой точке d2f(x) является положительно определенной квадратичной формой, то в точке х = a функция }{х) имеет локальный минимум;
2) если d2f(x) — отрицательно определена, то a — точка локального максимума;
3) если d2f(x) является неопределенной формой, то точка a не является точкой локального экстремума.
Доказательство. Рассмотрим пункт 1). Обозначим через А матрицу квадратичной формы d2f(x) от переменных Ax3, s = ..., п, а через 5(a) — множество точек х € Kn с условием |Дх| = 1.
Множество 5(a) ограничено и является замкнутым, так как совпадает со своей границей 55(a), и поэтому содержит эту границу. Следовательно, 5(a) — компакт, а потому на множестве 5(a) второй дифференциал как функция от приращения Ax достигает своего
минимума т, т.е. найдется вектор ёо, )ёо| = 1 такой, что
= m >
Заметим, что для любого вектора Ax,' Ax = |Axje, |ё| = 1, имеем
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано получим Д/(х) = df(a) + \d2№ + о(|Дх|2) > ^|Дх|2т(1 + о(1)),
т.е. найдется є > 0, такое, что для любой точки х Є 0(a,e) выполняется неравенство Д/(х) > 0. Первый пункт рассмотрен
Пункт 2) рассматривается аналогично. Перейдем к третьему пункту. В силу неопределенности квадратичной формы d2f(a) получим m < О < М, где
