Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку Н\ ф 0, применяя предположение индукции к функциям f2(x, у),..., fm(x, у), получим, что существуют функции
Уі = фі(х,ут), . ..,ут~ 1 = 0rn-l{s»!/m), удовлетворяющие условиям
/к(х,фі, . ..,VVn-bJ/m) =0, =
для любой точки (х,ут) в некоторой окрестности Qo точки (a,6m). Подставим теперь фі,.. .,фт-і в функцию fi{x,y). Имеем:
/і(х,ф(х,ут),...,фт-і(х,ут),ут) = Ф{х,ут).
Покажем, что ф 0 в точке (а,Ьт). Действительно,
дФ д/ідфі ¦ dfi дфт-1 , dh
-г • ¦ • -г т;--^--г
дут дуі дут дут-1 дут дут '
Л dh дфі х df2 дфт-1 df2
U — —-----1- •. • —-----к
дуїдут дУт-1 дут ' дут*
Л dfm дфі dfm дфт-1 , Sf1 U _ --—--г * ¦ ¦ ~г o--о--г
т
дуі дут дут-1 дут дут'
Домножим первое уравнение на Hі, второе — на H2 и т.д. Сложим получившиеся выражения. В результате будем иметь
дФ
Hi-— = Я,
ОУт
так как при к ф т справедливо равенство
m
ІА дук
а при к = т эта сумма равна Н.
Далее, поскольку H и Hi не равны нулю,
дут H
339- Следовательно, по теореме о неявной функции существует единственная функция ym = ipm(ж), такая, что fi(x,tp(x)) = Ob некоторой окрестности й точки а, где
<Рі(х) - Фі(х,<рт(х), - ..,Vm-i(x) = фт-і(х,<Рт(х))-
При к — 2,..., m в области Q имеем Д (?, <р(х)) — 0.
В силу инвариантности. формы первого дифференциала при к = 1,..., т имеем
0 = dfk = '^dxl + ••• + ^dxp 4- ^dipl(X) + ••• + d<pm(x).
Oxl ¦ Oxp дуг ay
В векторном виде это можно записать так:
Bdx +1Adip(X) ^ 0,
где
/ ЁЛ ^Ll у / %Ll Ml
I Qxl ' дхр \ ! Sy1 ' * ¦ ду„
\ "' J 1 ~ 1 ОЬ, Мл
Xdx1 ¦ ¦ ¦ дхР / \ дУ1 ••• ду„
/ dtpi(x) \ Zdxі
d<p(x) = ... Ldx= ... \d<pm(x) / \dxm
Далее, имеет место равенство
dip(x) = J.^(x)dx,
те
(IbLL ^ia
Qxi ' ' ' дхр
L.....
'дхі ' ' ' дхр t
Таким образом, получим
AJ^dx + Bdx = 0, т.е. (Jte(X) + A~1B)dx = 0.
Итак, линейное отображение переводит любой вектор dx Є Mp в нулевой вектор. Следовательно, это нулевое отображение и
Jtp(X) + A-1B = O, т.е. Jlfi(X) = -A-1B.
Теорема доказана полностью.
340- Следствие (теорема об обратном отображении). Пусть гладкое отображение <р :JRn —» IR" в окрестности точки х = а, невырожденное в этой точке. Тогда существует обратное гладкое отображение ф(у) = <р~х(у). определенное в некоторой 8-окрестности точки Ь = V?(?), т.е. такое отображение, что ф(<р(х)) = ж, причем матрица Якоби J^ отображения ф{у) равна
I — T-1
Jty — JtP ¦
Доказательство. Эта теорема является прямым следствием теоремы о системе неявных функций. Надо только записать равенство у ~ <р(х) = Ob виде системы неявных функций
/і(®,У) = <Р\{х) -1/1 = 0,
fn{x,y) = - Уп = о, а затем по этой теореме выразить ж через у.
§ 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 1. Пусть Q — область точек Mn, яа которой определены гладкие функции <pi (ж),..., ^rn (ж), m < п. Тогда множество Qi С Q решений системы уравнений <р(х) — 0, k = 1,.... т, называется многообразием, порожденным функциями <р\,... ,spm. Уравнение ipk (ж) = 0 называется уравнением связи для многообразия
Определение 2. Точка a называется точкой условного локального максимума на многообразий Q, если в некоторой окрестности точки a для любой точки х, принадлежащей этой окрестности и многообразию Q, справедливо неравенство /(ж) < /(а).
Аналогично определяются точки условного локального минимума и экстремума.
Замечание. Если связи отсутствуют, то условный локальный экстремум называется безусловным экстремумом.
Определение 3. Точка a функции /(ж) называется особой, если grad/(a) = О, и неособой, если grad/(а) /0.
Определение 4. Многообраз ле Q1 называется невырожденным, если для любой точки X Є Qi векторы градиентов Ф, = grad <ра(х) при S= 1,..., тп являются линейно независимыми.
341- Теорема (необходимое условие условного экстремума). Для того чтобы неособая точка a функции f{x) была бы точкой условного экстремума функции fix) на невырожденном многообразии fii, необходимо, чтобы вектор F = grad f(x) в точке х = a выражался в виде линейной комбинации градиентов Фі = grad <pi{x),..., Фт = grad ipm (і) в этой точке, т.е. чтобы существовали вещественные числа Ai,...,Am такие, что
F = А1Ф1 +----(- Am Фт.
Утверждение этой теоремы допускает следующую переформулировку для практического нахождения условного экстремума.
Следствие (метод множителей Лагранжа). Пусть Ai,..., Am — независимые вещественные переменные. Рассмотрим функцию Лагранжа
L(x,X) - f(x) - \i<pi(x)-----Am<pm(x).
Для того чтобы неособая точка a функции f(x) была бы точкой условного экстремума этой функции на невырожденном многообразии Q1, необходимо, чтобы при некотором А = Ao имело место равенство
Щх,Х)1?=й-х=Хо = 0,
т.е. чтобы все частные производные функции L(x, А) по переменным х3 и Ar обращались в нуль.
Доказательство следствия. Если мы приравняем к нулю частные производные по переменным Ar, то получим уравнения связи. А если продифференцируем по xs, s = 1,...,п, то получим условие выражения градиента функции f(x) в виде линейной комбинации градиентов функций <рг(х), что по теореме и является необходимым условием. Следствие доказано.
