Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
M = sup d2f{a), т = inf d2f{a), |дг|=і |Afl=i
331- причем величина M достигается на векторе ё\, а величина гп — на векторе е2. Тогда функция д\(t) = f(a+teі) при t = 0 имеет локальный максимум, а функция 52(i) = /(S-Hie2) — локальный минимум, а сама функция f(x) в любой окрестности точки a принимает значения, как большие /(a), так и меньшие /(a), т.е.» точка a не является точкой локального экстремума. Теорема 2 доказана.
§ 9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть заданы точка (a,?>) = (ai,..., a„_i,6) Є некоторая ее
?-окрестность и множество точек, принадлежащих этой ^-окрестности и удовлетворяющих уравнений) /(х,у) = 0.
Определение 1. Функция <р{х), зависящая от (n-l)-it переменной x = (xi,..., xn-1) и заданная в некоторой S-окрестности точки a, называется неявной функцией, соответствующей уравнению fix, у) = 0, если для любой точки X из этой 6-окрестности имеет место равенство
f(x,<p{x)) = 0.
Определение 2. Функция f(x) называется гладкой в области Q С Mn, если для любой точки х Є Q она является дифференцируемой и ее частные производные непрерывны.
Докажем теперь теорему о неявной функции.
Теорема (теорема о неявной функции). Пусть:
1) функция f(x, у) непрерывна в некоторой е-окрестности Q ¦ точки (a, fr) Є M2;
2)f(a,b) = 0;
3) для любой точки (х, у) Є Q частные производные и являются непрерывными функциями;
0.
Тогда существует единственная функция у = р(х). определенная в некоторой 8-окрестности точки а, такая, что:
1) <p(a) = 6;
2) для любой точки х, принадлежащей S-окрестности, имеет место равенство f(x,ip(x)) = 0; Более того, оказывается, что эта функция <р(х) является гладкой, причем
U,u)_ Mx'у)
u /^»Um
332- Доказательство. Так как f'y (х, у) — непрерывна на Q и fy(a,b) > 0, то существует замкнутыйщквадрат К С П с центром в точке (а, 6) и со сторонами, параллельными осям координат, длины 2Л, внутри которого минимальное значение fy(x,y) равно т > 0. В силу того, что fy{x,y) > 0, функция /(а,у) возрастает. Далее, так как /(a, b) = 0, то /(а, 6 + h) > 0 и /(а, 6 — Л) < 0. В силу непрерывности функции f(x, у) существует число S > 0 такое, что для любого значения я в [а — а 4- *імеем /(ж, 6 + h) > 0 и /(х, 6 — Л) < 0.
Отсюда следует, что" на отрезке, соединяющем точки А\ = А\ (х) — = (х, Ь—п) и A2 = А2(х) = (х, 6-4-Л), монотонная функция д(у) = /(х, у) обращается в нуль только в одной точке ух.
Каждой точке х Є [а — <5, a + Jj поставим в соответствие точку ух. Оно определяет функцию у ¦= <р(х) = ух, для которой
/(х, *>(*))==/(*, у,) = о,.
при этом из равенства f(a,b) = 0 имеем ^>(а) = уа = Ь.
Функция <р(х) и является искомой. Надо только доказать, что у = <р{х) дифференцируема внутри интервала (a — St а-М), причем
¦ УГИ- ?Л*>Ф))
tp^ ГЦхМ*)У
Докажем сначала непрерывность v?(x). Пусть точки х и Xq принадлежат интервалу (a — S, a-f 5). Покажем, что Ду?(х0) = <р(х) — <р(хо) —>¦ 0 при ax = x — xq -»о. положим
у — <р{х), уо = v?(xo), Ay = А(р(х).
Имеем /(х,у) = /(хо,Уо) — 0. Следовательно, для функции = /(хо + tДх, уо + tAy) справедливы равенства ^(0) — у(1) = 0. Функция g(t) при любом t Є [0,1] имеет производную
$'(*) = /і(«о + tAx, уо + tAy)Ax + fy{x0 4-1Ax^y0 + tAy)Ay.
По теореме Ролля существует число в Є (0,1) такое, что д'(в) = 0. Отсюда получим
Ay^ ГАІ)
Ax /J(fl' где і = (хо + вAxy уо + ВAy). Следовательно,
Ay
Ax
M
< —, M = max|/?(х,у)j, ш = min|/'(x,y)| > 0, т к к *
ззз т.е. величина ^ — ограничена. Поэтому имеем, что Ay = Ax ^ —> О при Ax —> 0, т.е. <р(х) является непрерывной функцией. Кроме того, так как при Ax 0 имеем, что Ay 0, то ? —> (жо, Уо)- Далее, в силу непрерывности частных производных Fx и /у > 0 получим
? («) = lim P- =
Теорема доказана.
Замечания. 1. Случай Fyix>у) < 0 сводится к рассмотренному заменой функции / на д = —/.
2. График функции у = <р(х) является частью линии уровня z = О для поверхности z = f{x, у).
Следствие (общая теорема о неявной функции). Пусть:
1) функция f(x, у) непрерывна в некоторой є-окрестности ? точки
(5,6) = (аь...,ап_1,6) е M2;
2) /(M) = O;
3) для любой точки (х у у) Є Q частные производные j^,..., т™^-и являются непрерывными функциями;
4) > о.
Тогда существует единственная функция у = <р(х), определенная в некоторой S-окрестности точки а такая, что:
1) у?(а) = 6;
2) для любой точки X, принадлежащей 6-окрестности, имеет место равенство f(x, <р{х)) = 0;
3) функция (р(х) является гладкой, причем
/y^rily=^)
,Доказательство, по существу, дословно совпадает с доказательством теоремы. Надо только вместо точек (а,6±Д) рассмотреть точки (a,b±h), а вместо интервала (a — S, а + J) — шар
О(М).
В качестве приложения предыдущей теоремы рассмотрим задачу об арифметических свойствах неявных функций, представимых степенными рядами. Приводимый здесь результат является частным случаем одной теоремы Эйзенштейна.
Теорема2. Пусть задано алгебраическое уравнение F(x,y) = 0 с целыми коэффициентами, причем F(0,0) = 0 и /7^(0,0) ф 0. Пусть
