Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. ПОНЯТИЕ КОМПАКТА. КОМПАКТЫ В Rn И ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА Mjv. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
НА КОМПАКТЕ
Определение 1. Множество К в метрическом пространстве X называется компактом, если из любого покрытия открытыми множествами этого компакта можно выделить конечное подпокрытие.
309- Определение 2. Множество В метрическом пространстве называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре О(х0,г) с центром в точке Xo и радиуса г.
Л е м м а 1. Компакт является ограниченным множеством.
Доказательство. Пусть К обозначает компакт. Возьмем любую точку хо € К. Тогда шары On = О(хо,п) в совокупности покрывают все пространство X, в том числе и К. В силу компактности К из них можно выделить конечное подпокрытие
{Otl С Ot3 С ¦ • С Ott, h < <2 <•¦<<,; к С Ot,),
а это означает, что компакт К является ограниченным множеством. Лемма І доказана.
Л ем м а 2. Пусть К — компакт. Тогда любая бесконечная последовательность {xn} С К имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую К.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть последовательность {хп} не имеет предельных точек, принадлежащих К. Тогда любую точку х € К можно окружить своей ?-окрестностью 0(х,є), внутри которой не будет точек из {хп}, кроме, может быть, самой точки х. Получим покрытие компакта К открытыми множествами. Выберем из него конечное подпокрытие. Но тогда получим, что точками К, принадлежащими последовательности {хп}, могут быть только центры выбранных є-окрестностей, а их конечное число. Следовательно, множество точек последовательности {хп} — конечно. Противоречие. Лемма 2 доказана.
Л е м м а 3. Компакт К является замкнутым множеством.
Доказательство. Достаточно показать, что компакт К содержит все предельные точки. Действительно, пусть хо — любая предельная точка К. Тогда можно указать последовательность {а:«} С К такую, что при п ф т имеем хп ф хт и xn Xq при п оо. Отсюда по лемме 2 получим, что Xq Є К. Лемма 3 доказана.
Перейдем теперь к описанию компактов в n-мерном пространстве и доказательству полноты пространства Rn.
Теоремаї. Любой замкнутый куб в IRn, т.е. множество точек X = (xi, . . . , Xn) С условием as < X) < xs+l, S= 1,..., п, является компактом.
Доказательство. Будем рассматривать только случай R2, так как общий случай Rn принципиальных отличий не имеет. Итак, пусть h — замкнутый квадрат покрыт бесконечной системой открытых множеств {(/}. Надо доказать, что из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Докажем это утверждение от
310- противного. Разделим Л на 4 равных квадрата прямыми, проходящими через середины его сторон, параллельно осям координат. Так как квадрат h не допускает конечного подпокрытия, то, по крайней мере, один из четырех новых замкнутых квадратов не допускает конечного подпокрытия. Тогда этот квадрат делим на 4 равных квадрата и т.д.
Мы получим систему вложенных квадратов. Их проекции на любую из двух осей образуют систему стягивающихся отрезков, которая имеет единственную общую точку, т.е. существует точка хо на оси Ох, и аналогично, точка уо на оси Oy такие, что хо принадлежит проекциям всех вложенных квадратов на ось Ох, а уо — проекциям на ось Oy. Но тогда точка А = (хо,Уо) принадлежит всем квадратам. Кроме того, она покрыта каким-то открытым множеством Uo из покрытия {{/}. Следовательно, найдется ^-окрестность 0(А,є) С Uo, целиком накрывающая некоторый квадрат из построенной системы вложенных квадратов. В частности, таким может быть квадрат Kq с длиной стороны меньшей, чем е/у/2. Но тогда квадрат Ко будет покрыт всего лишь одним множеством Uq. Противоречие. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть для любых двух точек a. b є En определено скалярное рроизведение (a, b) и метрика p(a, Ь) задается равенством p(a, b) = у/(а — 6, а — 6). Тогда метрическое пространство Kn с метрикой р является полным.
Доказательство. Достаточно показать, что любая фундаментальная последовательность {хп} сходится к элементу этого пространства. Очевидно, что {хп} ограничена, и потому ее можно покрыть замкнутым кубом К. Поскольку К — компакт, по лемме 2 существует предельная точка Xo 6 К последовательности {х„}. Следовательно, {х„} сходится к хо, так как фундаментальная последовательность не может иметь более одной предельной точки. Теорема 2 доказана.
Докажем теперь критерий компактности множества в Rn.
ТеоремаЗ. Множество К С Ж" является компактом тогда и только тогда, когда К ограничено и замкнуто.
Доказател ь с те о. Необходимость. Если К — компакт, то по леммам 1 и 3 это множество ограничено и замкнуто.
Достаточность. Проведем доказательство от противного. Сначала в силу ограниченности К поместим его внутрь куба Л. Предположим, что существует покрытие множества К открытыми множествами {U}, не допускающее конечного подпокрытия. Тогда куб h можно разбить на 2" равных куба (аналогично разбиению теоремы 1). Далее возьмем один из получившихся кубов hi, не допускающий конечного подпокрытия, и т.д. Последовательность кубов {hn} сходится к одной точке х0, которая является предельной точкой К и потому принадлежит К. Некоторое открытое множество U Є {U} покрывает эту точку. В силу
