Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
1. Пусть А — основное множество элементов Xf А = {ж}, и пусть В — база его подмножеств, которая состоит из бесконечного числа окончаний Ь, т.е. b С A, b € В, удовлетворяющих следующим условиям:
1) каждое окончание является непустым множеством;
2) для любых двух окончаний &i, b2 существует окончание Ь3 такое, что b3 С П 62.
Определение 1. Мы называем последовательность {агп}, х„ Є А, фундаментальной по базе Bt если для любого окончания b существует только лишь конечное число членов последовательности, которые не принадлежат 6.
174 Определение 2. Фундаментальная последовательность называется монотонной (по базе В), если условие хп Є Ь влечет условие хп+\ Є b для каждого окончания 6.
Далее мы ограничимся базами Bi удовлетворяющими также следующим условиям:
3) для любых двух окончаний b\y Ь2 иміеем, что либо &i С 62, либо
62С61;
4) существует по крайней мере одна монотонная последовательность по базе множеств В\
*5) ft Ь = 0.
ь?в
2. Докажем несколько свойств монотонных последовательностей по базе.
ЛеммаХ. Пусть {хп} — монотонная последовательность по базе В. Тогда существуют ее подпоследовательность {ук}> Ук ~ хПА, и последовательность окончаний bn ? В, зависящая от {у*} , такие, что 'хПк Є h, но хПк ? Ь*+ь bk+i C bk-
Доказательство. В качестве Ь\ выберем произвольное окончание из В. Существует только конечное число членов последовательности, которые не принадлежат Пусть Xrtl € Ь\, тогда для любого к > О имеем Xn1+* Є (по свойству монотонности {хп}). В качестве 62 выберем некоторое окончание, которому не принадлежит хП1. Такое Ь2 существует, поскольку Яв = ПьеВ 6 = 0. Действительно, если Xn, € b для любого окончания 6, то хПі Є Н#. Но тогда Hb не будет пустым множеством. В качестве хПа выберем член последовательности с минимальным индексом, начиная с которого все последующие члены последовательности принадлежат 62, и т.д.
Таким образом, мы получаем две последовательности: элементов у, = хп, и окончаний {Ь,}, bs Є В таких, что хп, Є b3, xn# ? bs+i и +і C bg для каждого s > 1. Лемма 1 доказана.
Заметим, что последовательность {у*}, очевидно, является монотонной по базе Я. Последовательность {6П} назовем основной последовательностью окончаний.
і
Л е м м а 2. Пусть {6П} — основная последовательность окончаний. Тогда для каждого окончания b Є В существует окончание Ьп Є В такое, что 6n Cb.
Доказательство. Предположим противное. Пусть Ь* такое окончание, что для всех п имеем bn ? Ь*. Тогда в соответствии со свойством 3 базы В выполняется следующее условие: 6„ D b* ДЛЯ ВСЯКОГО n > 1, Т.е. Ь* С Пп ^n = Т>. Из леммы 1 имеем, что Уп & Следовательно, уп ? f)n 6n = Di т.е. бесконечно
175- много, даже все члены последовательности {уп} не принадлежат D. Далее, так как 6* С D, то окончанию Ь*не принадлежит бесконечно много членов последовательности {j/n}- Это противоречит тому, что последовательность является фундаментальной. Лемма 2 доказана.
3. Пусть /(х) — вещественная функция, определенная на А. Мы
называем число I С-пределом функции /(х) по базе В, если для
всякого є > 0 существует окончание Ь = 6(e) такое, что для всех х Є 6
имеем |/(х) —I\ < є.
Обозначение: I — C-Iim/(х) или просто I = Iim/(х).
в в
Это соответствует определению предела функции по Коши. Дадим теперь аналогичное определение предела по Гейне.
Число I будем называть Яш-пределом функции /(х) по базе В, если для каждой монотонной последовательности {хп} по базе В имеем, что
lim /(xn) = L
п-їоо
Обозначение: I = Hm-Imi /(х).
ТеоремаХ. Для того чтобы существовал C-Iim/(х), не-
в
обходимо и достаточно, чтобы существовал Hm-Iim f(x); более того, имеем
Hm-limf(x) = C-lim/(x). в в
Другими словами, понятия Ят-предела и С-предела функции по базе В являются эквивалентными.
Доказательство. Необходимость. Пусть С-предел существует, т.е.
C-limf(x)=L
Тогда по определению для любого є > 0 существует 6 = 6(e) такое, что при всех x Є 6 справедливо неравенство |/(х) /| < е.
Рассмотрим произвольную последовательность {ж„}, монотонную по базе В. Из условия монотонности следует, что существует по такое, что для всех п > по имеет место соотношение хп Є 6. Следовательно,
|/(*п)-*Г<? V П > По,
т. е.
\imf(xn)=L
п—юс
Достаточность. Предположим противное. Пусть HmAim f(x) = I,
в
но С-предел не существует или не равен L Это означает, что
176- существует є > О такое, что для каждого окончания b E В найдется X € Ь, для которого |f(x) — /| > є.
Рассмотрим основную последовательность окончаний {Ьп}- Пусть Zi Є bi и \f(zi) - /| > є. Так как Hв = DbeB^ = 0' то существует окончание M1) Є В такое, что Zi ? ?(1). В силу леммы 2 при некотором Щ имеем Oni Следовательно, Zi ^bni-
Далее, существует точка Z2 Є bni такая, что \f(z2) — > є. Как и выше, мы находим окончание 6П2, удовлетворяющее условию Z2 ? ЬП2. Затем выбираем Z3 Є ЬП2 такое, что \/(гз) — > є, и т.д. Таким образом, мы-получаем цоследовательность {Zn}, которая удовлетворяет условиям Zjt Є ЬПк_1, Zk &ЬПк, и последовательность окончаний Ь\ = ЬПо D 6щ D 6n2 D . • • -
