Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что последовательность {zn} является фундаментальной и монотонной по базе В.
Фундаментальность. Возьмем любое окончание Ь* 6 В. По лемме 2 существует окончание Ьк такое, что bk С 6*. Если ns > к, то 6П( С bk Cb*. Окончанию 6П, не принадлежат только элементы zi,.t.,z, последовательности {zn}, и для любого п > s имеем Zn Є bnt С b*. Значит, последовательность {гп} является фундаментальной.
Монотонность. (От противного). Предположим, что существует окончание Ь* Є В такое, что для некоторого номера к имеем Zjt Є b*, ?. b*. Из построения последовательности {zn} получим, что
-fc+i Є ЬПк. Следовательно, ЬПк D b* (по свойству 3 базы). Так как Zk Є Ь*, то . Zk € ЬПк. Однако это противоречит тому факту, что по построению последовательности {Zk} справедливо условие Zk ^ ЬПк. Таким образом, последовательность {zk} является монотонной. Далее, из того, что
Hm- lim f(x) = I, в
имеем
lim f(zn)—l.
п-юо
Следовательно, мы можем перейти к пределу в неравенстве
|/(zn)-/|>?>0.
Получим 0 > є > 0, что невозможно. Теорема доказана.
Будем говорить, что число I называется Я-пределом функции f{x) по базе В, если для любой фундаментальной последовательности {хп} по базе В выполнено условие
lim f{xn) = /.
«-+оо
Обозначение: I = #-limf(x).
177- Теорёма2. Следующие три понятия предела, эквивалентны:
1) IimЯ*)=/;
2) H-Umf(X)=I;
3) Hm~\imf(x) = L
в
Доказательство. Имеет место следующая цепочка утверждений: 1 2 3 1. Первые два из них очевидны, а третье следует из теоремы 1.
4. Теперь докажем несколько свойств верхнего и нижнего предела по базе.
Пусть {ж„} — монотонная последовательность по базе В и пусть существует
lim f(xn) = I.
п—Юо
Тогда I называется частичным пределом по базе В. Наибольший
из частичных пределов (если он существует) называется верхним
пределом функции f(x) по базе В и обозначается Iim/(х); по-
в
добным образом наименьший частичный предел называется нижним
пределом по базе В и обозначается lim f(x).
в
Число Ii называется верхним предельным числом, если
11 =s inf sup/(x),
а число I2 — нижним предельным числом, если
12 = sup inf f(x).
ЬЄВ Xє&
, Теорема 3. Пусть /(ж) финально ограничена. Тогда верхний и нижний пределы f(x) по базе В существуют, и
Sm/(х) inf sup/(ж), В ьев x?b
lim/(x) = sup inf /(ж). в Ь?ВХ*Ь
Доказательство, Для любых двух окончаний &i, Ь2 базы В имеем
inf /(ж) < sup /(ж).
Действительно, если &з — окончание базы В и 63 С І>і П &2> то
inf /(ж) < inf /(ж) < sup /(ж) < sup /(ж). гЄЬз гЄь3 X?b2
178- Следовательно, в силу финальной ограниченности f(x) по базе В существует такое число Л, что
Л = inf sup f(x). Ь?ВхЄь
Докажем, что
lim/(х) = А.
Шаг 1. Мы можем найти окончание Ь* Є Bt для которого f(x) < А+1 для любых X Є b*. Из леммы 2 следует, что существует окончание 6П1 € В с условием bni С Ь*. Покажем, что можно найти элемент Xi Є bni с условием
А + 1 > f{xi) > А — 1. Достаточно показать, что
sup f(x) > f(xi) > А - 1. xebni
Если бы такого элемента Xi не было, то V. х Є ЬПі выполнялось неравенство f(x) < А — 1. Следовательно,
sup f(x) < А — 1,
откуда имеем
A= inf snp f(x) < А — 1.
Имеет место противоречие.
Далее мы можем найти окончание Ь^ такое, что Xi b^. (Такое окончание существует, поско^ку Hb = Пбєв^= 0O Шаг 2. Выберем окончание
Є By подчиненное условию /(*)< А +і Vx€6(2).
Zi
Рассмотрим окончание b^ С Ь^ П Окончанию b[2^ 6 В не
принадлежит xi. Далее, как и в шаге 1, существует окончание ^n2 С которое содержит точку Xi ф Xi такую, что
А-І</(*2)<АЦ,
и т.д. Наконец мы получаем последовательность которая удо-
влетворяет условиям
XsEbnti xs?bnt_i, ¦ А--</(«,)< Л+І..
179- Как и при доказательстве теоремы 1, устанавливаем, что {хп} — монотонная последовательность по базе В. Кроме того, при п —> оо справедливо равенство IimrwociZ(Xn) ==A, т.е. А — частичный предел по базе В.
Шаг S. Покажем, уго любой частичный предел функции /(х) по базе В не превосходит А. Из определения величины А имеем, что для любого є > 0 существует окончание b с условием
sup /(х) < А + е. хеЬ
Пусть {хп} — произвольная монотонная последовательность по базе В. для которой существует Iim Дхп). В силу фундаментальности
п—Юо
последовательности {хп} только конечное число ее членов не принадлежат 6, т.е. существует номер п0 такой, что для всех номеров її, больших По, имеем /(х„) < А + ?. Переходя к пределу при п оо, получим
Iim /(х„) < А + є.
п—>оо ~
Ввиду произвольности е>0 имеем Iimn-^oo/(хп) < А. Теорема доказана.
Пусть 1\ и I2, как и прежде, верхнее и нижнее предельные числа соответственно. Мы назовем число I2 — 11 >0 колебанием функции /(х) по базе В и обозначим
ose /(х) = I2 - 1\. в
Критерий Коши в этих обозначениях формулируется следуїощим образом.
Для существования предела функции /(х) по базе В необходимо
и достаточно, чтобы osc/(x) =0.
в
Отметим, что из теоремы 3, в частности, следует, что:
1) Iim f(x) = inf sup f(x);
