Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Iim /(х) или Iim /(х)
x-t-a- r-rn+ v '
равен ±оо.
Пример, у = 1/х. Здесь прямая ж = 0 — это вертикальная асимптота.
Определение 3. Прямая у = кх 4- 6 называется наклонной асимптотой функции /(х) (или, точнее, графика функции у = /(ж)) при x —> +оо, если
a(x) = /(х) — kx — b 0 при ж —> +оо. Аналогично определяется асимптота при х —у —оо.
153-Теорема 5. Для существования наклонной асимптоты у — kx + b при X —f +оо у функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы при X —У +оо (одновременно) выполнялись два условия:
1) lim = Iк, keR,
Г—++OO
2) lim (f(x) - кх) = Ь, 6 Є Ж.
r-f+oo
Доказательство. Необходимость. Пусть у = кх + Ь — асимптота, тогда
с*(х) = f(x) — кх - 6 —> О при X —У +оо.
Следовательно,
fix) — кх ~ Ь
—^--У О при X -У +оо,
X
откуда
lunM = t.
г—»+оо а;
Далее,
Iim (/(х) - кх) = lim ((f(x) -kx-b) + b) = b.
X-4+OO r—foo
Тем самым первая часть теоремы доказана.
Достаточность. Так как 1ітх_^+0о(/(я) — кх) = Ь, то
Iim а(х) = lim (f(x) - кх - b) = lim ((f(x) - кх) - b) = b - b = 0.
X-1-+00 V ' + + OQ ' ' *-»-00VV'V ' ' '
Теорема доказана полностью.
Если для функции f(x) выполнено условие 1 теоремы 5, то мы будем говорить, что прямая у = кх задает асимптотическое направление.
Пример нахождения наклонных асимптот в случае функции, заданной неявно.
Рассмотрим уравнение кривой
X3 + у3 -Zaxy = 0.
Зададим ее параметризацию, полагая у = tx. Тогда получим
х3(1 + <3) — Zax2I = О, , о 3 at Л -W
1 + t---=0, X =
х
1 + <3'
Отсюда имеем: = t = t(x) — ограниченная величина при х оо и i(x) —1. Следовательно, t = —1, т,е. прямая у = — х задает
154-асимптотическое направление. Найдем теперь значение параметра Ь в уравнении касательной у = —х + Ь. Имеем
у = -X + Ь + о(1), X3 + (-а: + б)3 - Зах(-х + 6) = о(х2),
откуда
Зх2(6 + а) + Зх(а6 - б2) + б3 = о(х2), аЬ-Ь2 б3
Переходя в последнем равенстве к пределу при x oo для постоянного b, получим равенство b + а = 0, откуда 6 = — а, и, следовательно, искомое уравнение асимптоты при х —> оо имеет вид у = —х — а.
Краевой экстремум. Пусть f(x) задана на отрезке [а, 6].
Определение 4. Точка а называется точкой краевого локального максимума (минимума), если существует интервал (a, a + 6) Є [а, 6], для всех точек х которого справедливо неравенство
/(а) > /(х) (соответственно /(х) > /(а)).
При /(а) > /(х) имеет место несобственный (локальный) максимум; при /(а) < /(х) — несобственный (локальный) минимум.
То же самое можно определить и для точки &, только интервал (а, а+ (У) надо заменить на интервал (b — S,b)..
Краевые максимум и минимум называются краевыми экстремумами.
JI е м м а 2. Для существования (собственного) краевого экстремума в точке а (или Ь) достаточно, чтобы в этой точке существовала отличная от нуля односторонняя производная функции /(х).
Доказательство аналогично доказательству леммы Дарбу.
Например, если /'(х) > О при х Є (a, a+ J), то а — краевой минимум, поскольку при X Є (а, а + ?) существует с G (а, а + ?) такое, что
/(х)~/(а)=/'(с)(х-а)>0, т.е. f(x)>f(a). Лемма 2 доказана.
155-Обшдя схема построения графика функции f(x)
1. Найти область определения функции f{x).
2. Учесть особенности функции (четность, периодичность, знакопе-ременность). Найти пересечения графика с осями координат.
3. Отметить значения функции на границе области определения и в точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
4. Найти наклонные асимптоты.
5. Определить участки монотонности. Определить локальные и краевые экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
7. Отобразить перечисленные особенности функции при построении ее графика.Лекция ЗО
§ 16. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Целью интерполирования, или интерполяции, является приближенное нахождение функции по известным значениям этой функции и ее производных в некоторых заданных точках области ее определения. Эта задача становится определенной, если задан вид функции и число неизвестных параметров не превышает количества заданных значений функции и ее производных. Так, например, многочлен n-Й степени имеет п + 1 параметров (его коэффициенты) и может быть определен по значениям его в n + 1 различных точках.
Пусть в точках xj,.. .,хп многочлен Р{х) принимает соответственно значения f(xi),..-,f(xn).
Теорема 1. Существует единственный многочлен Р(х) степени п — 1 такой, что P(Xfc) = f(xk), к = 1,. .., п.
Доказательство. Имеем
1, если X = Xk,
О, если X = Xi, ..., xk+u ..., Xnt
где
QkU) - (д? -Xl)...(х- gjfc-i)(g - Xk+1) . . ¦ (х - Xn) k (Xk -Xi)... (xk - Xk-i)(xk - a?fc+i) ...(xk- Xn)'
Тогда P(x) можно записать в виде
Р(х) = f(xi)Qi(x) + . - ¦ + /(xft)Qn(x).
t
Докажем, что многочлен Р(х) единственен. Действительно, допустим, что существует еще один многочлен с указанными свойствами, т.е.
Q(Xk) = f(xk).
Отсюда получим, что многочлен (п — 1)-й степени
F(x) = Р(х) - Q(X)
имеет п корней, а именно, F(xk) = 0, k = 1,...,п. Следовательно, F(x) = 0, т.е. многочлены Р(х) и Q(x) тождественно совпадают.