Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
2) lim fix) = inf sup fix); X^cojk T>0 jar|>T
3) Iim f(x) = inf sup /(x). X^x0 S>0 o<jr—
Замечания. 1. Теорема 1 даже в простейших случаях несколько сильнее, чем классическая теорема, утверждающая эквивалентность поточечной сходимости по Коши и Гейне, поскольку требуются только монотонные последовательности. Это, в свою очередь, иногда удобно в приложения*.
180- С другой стороны, можно рассматривать базы, для которых каждая фундаментальная последовательность не является монотонной. В этом случае, конечно, Ят-сходимость не определена, тем не менее, теорема 2, утверждающая эквивалентность H- и С-сходимости, остается справедливой, так как ее доказательство, по существу, тождественно с выводом теоремы 1 при очевидной подстановке просто фундаментальной последовательности вместо монотонной.
2. Необходимо подчеркнуть, что понятия Hm-, Я-сходимости могут быть определены в том случае, если существует по крайней мере одна монотонная фундаментальная последовательность' по базе. Кроме того, как показано в лемме 1, для такой базы всегда существует основная последовательность окончаний, которая сама является счетной базой, кофинальной к первоначальной. На языке теории фильтров это означает, что проблема обобщения теоремы Гейне об эквивалентности H- и С-сходимости может рассматриваться только для фильтров со счетной базой.
3. Мы ограничиваемся рассмотрением понятия сходимости только для числовых функций. Однако результат теоремы 2 без труда может быть распространен на общий случай отображений двух баз тогда и только тогда, когда они допускают существование монотонных или просто фундаментальных последовательностей.
4. Условие 3, налагаемое на базу Я, иногда оказывается невыполненным. Обычно в этих случаях можно вместо базы В рассматривать базу D1 удовлетворяющую этому условию, заданную на том же основном множестве и эквивалентную базе В в том смысле, что сходимость любой функции по одной из этих баз влечет за собой ее сходимость и по другой базе к тому же самому значению.
Примером эквивалентных баз являются база В и основная последовательность окончаний {6П} из леммы 1. ЧАСТЬ II
ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Эта часть курса математического анализа читается во втором семестре и включает в себя основы интегрального исчисления функций одной переменной и дифференциального исчисления в пространстве нескольких измерений. Обе темы объединяет появление в них геометрических понятий как главного объекта изучения.
Следует отметить, что источником основных понятий математического анализа во многом являются представления о простейших свойствах геометрических объектов в реальном пространстве. В качестве примера можно указать на метод !вычисления площадей у Архимеда или метод "исчерпывания" Евдокса. Чтобы быть ближе к сущности предмета устанавливается взаимосвязь понятия интегрируемости функции по Риману и вопроса о сущертвовании площади криволинейной трапеции, т. е. ее измеримости по Жордану.
Второй источник понятий математического анализа — арифметика. Поэтому мы стремились к раскрытию арифметических аспектов математического анализа, понимая под этим, скорее, их обусловленность дискретными элементами, имеющими арифметическую природу, связанную, в кднечнрм счете, со свойствами натуральных чисел. Сюда можно отнести доказанные в курсе формулы суммирования Эйлера и Абеля, метод интегральных сумм, равномерные разбиения в теории интеграла Римана, критерий Г. Вейля для равномерного распределения последовательности по модулю единица, признак алгебраи^ности функций, данный Эйзенштейном. Упомянем также об упрощении в изложении вывода формулы длины дуги кривой.
Необходимо сказать еще о том, что в этой части книги рассматривается ряд понятий, которые в дальнейшем более подробно изучаются в рамках других предметов. Здесь дается о них первое и в то же время достаточно отчетливое представление с тем, чтобы облегчить усвоение соответствующего материала в будущем, и, может быть, что еще в большей степени обеспечит понимание специальных курсов естественнонаучного содержания.
182- Глава VII ОПРЁДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекїдея 1
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть функция /(х) определена на интервале (а, /?), содержащем отрезок [а, 6]. Определенным интегралом от функции f(x) на этом отрезке [а, 6] называется число, равное площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключенной между прямыми X = а, х = Ь, у = О и кривой у = /(х), причем площадь той части, которая лежит выше оси абсцисс берется со знаком +, и ниже ее — со знаком - Интеграл обозначается так:
ь
J /(*) dx,
а
где число а называется нижним, а число Ь — верхним пределами интегрирования.
В связи с данным определением интеграла возникает ряд вопросов. Во-первых, что такое площадь? Этот вопрос — принципиальный, и им мы будем заниматься далее, и весьма продолжительное время.
Более простыми являются следующие вопросы.
1) Почему эта площадь обозначается почти так же, как и неопределенный интеграл?
2) Какая связь существует между неопределенным и определенным интегралами?
