Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА К НЕКОТОРЫМ
ФУНКЦИЯМ
1. Показательная функция: /(х) = ех. Имеем
/(О) =/'(0) = --- = /^(0)=1, /<п+1>(х) = е*.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме ІІагранжа принимает
вид
є* = 1 + ТЇ + ^r + ---+.fT +Tfrnie"- fXfX1
1! 2! п! (п+1)!
При любом фиксированном х остаток в ней стремится к нулю, поскольку
д.П+1
Iim --~гг = 0.
rwoo (n + 1)!
2. Функция /(х) = sin ж. Имеем
/H(x) = sin(x + n?), /<2*+^(0ж) = Sin ^x + (2fc + 1)0 = (-l)*cos0x. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дает
x3 X5 x2fc_1 х2к+1
sin* = * - 3! + 5Т - • •'+ (-1)к_,(2Г=-Г)Т+ {~1)кЩТу.соввх-
3. Функция /(ж) = COS х. Имеем
/(п)(х) = COS ^x+
Тогда
т2 И т2к~2 Jlk
— і - ?+? - • ¦+н'-'м+1-1?т™9'-
141 4. Функция f(x) = ln(l + x). Имеем
™ = ^W - иг-1 ¦
Следовательно,
-п+1 / 1 \ч+1
Заметим, что если |х| < 1, то Rn —> 0 при п —? оо. Кроме того,
а) если 0 < X < 1, то IjRrl I <
б) если -1 < -г < X < 0, то |Я„| < ^yztj, где
(-jr^L '(IzLX
^ п 1+0х\1 + вх)
(остаток в форме Коши).
5. Функция f(x) = (1 + х)а. Имеем
/<п>(х) = а(а - 1)... (а - n + 1)(1 + х)а"п,
поэтому
, а(а — 1) о а(а — 1)(ог — 2) э (1 + х)а =1 + ах + --X + -^-'-X3 + ...
, а(ог- 1)-..(а-п + 1)^п
+-:-X + Hni
п!
где
(а-п)г„+ ч о<
(п+1)!
(остаток в форме Лагранжа),
(остаток в форме Коши). Если |х| < 1, то Rn —? 0 при п —? оо. Мы видим, что во всех этих случаях Rn —? 0 при п —? оо. Другими словами,
Iim /„(О,г) = /(*).
п-юо
142- Это предельное выражение символически записывается так:
f'(a) f{nHa)
f{x) = f(a) 4- +±+ix - в) + - - • + ^рЧ* - а)" + • • •
и называется рядом Тейлора функции f(x) в точке х = а.
Заметим, что при всех n € N для п-го члена ряда имеет место равенство
/(п)(<¦),_ _ «f/(») _ «f/(аг) __(а:_а) -.-jjp-- -jjj-
аг=а Ах—т-а
Поэтому ряд Тейлора можно переписать в следующем виде
— 1! 2! + »! + " '
Тем самым определен точный смысл равенства, приведенного ранее в лекции 18, §4.
Замечание. Ряд Тейлора не всегда сходится к породившей его функции.
/(*) =
Пример.
- 1 ' ! е , если X ф О,
О, если х = 0.
Тогда при любом натуральном к имеем
/(*>(0) = 0.
Таким образом, мы видим, что ряд Тейлора нулевой, а породившая его функция отлична от тождественного нуля.
143- Лекция ЗО
§ 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ. ВЫПУКЛОСТЬ
Наша дальнейшая цель — применение построенной теории к решению задач, связанных с изучением поведения функций. Одна из них — задача отыскания локальных и глобальных экстремумов функций. Ранее мы уже доказали ряд утверждений подобного типа. Напомним их, а заодно и некоторые понятия, которые потребуются далее.
1. Точки х, в которых f'(x) =0, называются стационарными.
2. Критерий возрастания (в широком смысле) на интервале (а, 6) дифференцируемой функции; для того чтобы функция f(x) не убывала на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы f'(x) > 0 на (а, 6).
3. Критерий возрастания в строгом смысле: для того чтобы f(x) строго возрастала на (а, 6), необходимо и достаточно, чтобы f'(x) > 0 на (а, 6) и, кроме того, f(x) 0 ни на каком интервале
Отсюда имеем достаточное условие строгого возрастания: для
того чтобы f(x) строго возрастала, достаточно, чтобы f'(x) > 0 при всех і G (a,i).
4. Теорема Ферма. Если в точке Xq Є имеется несобственный локальный экстремум функции f(x), то Xq — стационарная точка.
Далее мы выведем несколько достаточных условий достижения функцией локального экстремума в заданной точке.
Teope маї. Пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки Xq (т.е. в этой точке f'(xо) = OJ. Тогда:
1а) если f'{x) > 0 слева от Xq и f(x) < 0 справа от х0, то Xq — точка строгого локального максимума функции f(x);
16) если f'{x) < 0 слева от xq и f'(x) > 0 справа от x0, то x0 — точка строгого локального минимума f{x);
2) если f'(x) имеет справа й слева от точки Xq один и тот же знак, то Xq не является точкой экстремума ни в широком, ни в строгом смысле.
Доказательство. 1а. По теореме Лагранжа имеем
f(x) = f(x0) + f'(c)(x-x0), где точка с находится на интервале с концами Xq и х.
144 Из условия следует, что /'(с)(х — Хо) < 0. Действительно, если X — Xo > 0, то с > X0 и, значит, /'(с) <0, (х — хо)/'(с) < 0; если же X — хо < 0, то /'(с) >0 и (х — xq)f [с) < 0. Отсюда получим, что /(х) < /(хо), что и требовалось доказать. Доказательство п. 16 проводится аналогично.
2. Если f'{x) > 0 справа и слева от хо, то /'(с)(х—Xq) < 0 слева и > 0 справа. Отсюда имеем f(x\) < f(xо) < f(x2) при Xi < хо < хз, что и требовалось доказать. Случай /'(х) < 0 рассматривается аналогично.
Доказанная нами теорема позволяет сформулировать следующее правило исследования стационарной точки на экстремум:
Если при переходе через стационарную точку слева направо производная меняет знак + на знак —, то функция имеет локальный максимум в этой точке, если меняется знак — на знак +, то функция имеет локальный минимум, и если она не меняет знак, то локального экстремума нет.
