Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
l> lim Ar = /'(х+),
но в силу того, что /'(ж+) не возрастает, всегда имеем, что I < /'(ж+), т.е. I == /'(х+), что и означает непрерывность справа функции /'(ж+) в точке Xo- Лекция ЗО
Jj 15. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Определение 1. Точку X0 из интервала (а, 6) будем называть точкой перегиба дифференцируемой функции f(x) (или ее графика), если существует проколотая S-окрестность ТОЧКИ Xq такая, что и в правой, и в левой ее полуокрестностях функция f(x) имеет выпуклый график, но направление выпуклости справа и слева разное.
Jl е м м а 1. Если X0 — точка перегиба функции f(x) и /'(х)
существует на (а, Ь), то в некоторой 6-окрестности точки х0 разность
/
г(х) = /(х) - (f(xо) + f'{x0){x - X0))
является неубывающей или невозрастающей функцией в точке X0 (в зависимости от изменения направления выпуклости).
Доказательство. Возьмем проколотую ^окрестность точки X0, в правой и левой частях которой f(x) имеет разные направления выпуклости. Пусть для определенности при xo — S < X < xo функция /(х) выпукла вверх, а при Xo < х < X0 + 6 — выпукла вниз.
Надо доказать, что г(х) > 0 при всех х Є (х0,х0 + ?) и г(х) < 0 при всех X Є (хо — 6, хо). Рассмотрим сначала первый случай. Имеем
г(х) = /(х) - (/(X0) + /'Ы(х - X0)) = (/(х) - /(X0)) - /'М(х - X0).
К разности /(х) — /(х0) применим теорему Лагранжа. Тогда при некотором Xi Є {x0)xq + 6) будем иметь
r(x) = f'{xi){x - X0) - /'(х0)(х - X0) = (/'(X1) - /'(х0))(х ~ X0).
По теореме 5 на интервале (x0,x0-f ?) фуцкция /'(х) непрерывна и не убывг^т. Точно так же доказывается, что /'(х) не убывает и непрерывна на (х0 — <5, х0). Но так как производная не может иметь разрывов первого рода, а монотонная функция не может иметь разрывов второго рода, то /'(х) непрерывна и в точке X0. Далее, в силу того, что /'(х) не убывает в проколотой окрестности точки X0 и на основании ее непрерывности в этой точке имеем, что и в точке X0 она тоже не убывает. Но тогда f'(x\) — /'(х0) > 0, откуда
г(х)=(/'(х1)-/'(х0))(х — Хо) > 0.
Случай X < X0 разбирается совершенно аналогично. Лемма 1 доказана.
151 ТеоремаГ (необходимое условие перегиба). Если f(x) в точке X = Xq имеет вторую ПрОИЗВОДНуЮ И ТОЧКа Xo - TOVKa перегибау то
ГЫ =о
Доказательство. (От противного). Допустим, что f"(x0) ф 0. Легко видеть, что г"(х) — /"(х). Поэтому
г"(х0) = Г(X0) фО.
Но поскольку
V1(X0) = f'(x0)-f (хо) = 0}
то по второму достаточному признаку экстремума функция г(х) имеет строгий локальный экстремум. Это противоречит утверждению леммы, по которому г(х) не убывает или г(х) не возрастает.
Отсюда следует, что f"(x0) = 0. Теорема 1 доказана.
Далее будем говорить о точках перегиба только в строгом смысле, имея в виду, что в определении точки перегиба имеет место строгая выпуклость в обеих полуокрестностях.
Теорема2 (первое достаточное условие строгого перегиба). Пусть f(x) дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки х = х0 и f"(x) имеет в ней разные знаки при х < X0 и х > X0.
Тогда, если f"(x0) = 0 или f"(x0) не существует, то X0 — точка строгого перегиба графика функции f(x).
Доказательство. Так как f"(x) сохраняет знак при х < хо и X > X0 в некоторой проколотой ^-окрестности, то /(х) имеет разные направления строгой выпуклости в этих частях ^-окрестности. По определению это означает, что X0 — точка строгого перегиба. Теорема 2 доказана.
Эту теорему можно сформулировать так: если f"(x0).= 0 и /"(х) строго возрастает в точке х0, то X0 — точка строгого перегиба (то же и в случае f"(x0) = 0, f"(x) строго убывает).
ТеоремаЗ (второе достаточное условие строгого перегиба). Пусть f(x) дважды дифференцируема на (а, Ь), /"(хо) = 0 и существует f"'(xо) ф 0.
Тогда х0 — точка строгого перегиба.
Доказательство. Так как /(3)(хо) ф 0, то либо /(3)(яо) > 0, либо /<3>(х0) < 0. В первом случае имеем /"(х) строго возрастает в точке Xq , а во втором — f"(x) строго убывает в точке хо- Поэтому из теоремы 2 в обоих случаях следует, что хо — точка строгого перегиба. Теорема 3 доказана.
152- Теорема4 (третье достаточное условие строгого перегиба). Пусть Xq Є (а, Ь) и пусть f(x) дифференцируема 2к раз на [а, Ь]. Пусть существует /(2*+1)(*о) ф 0 и /<2>(*0) = /(3)Ы = /(2fc)(xo) = 0. Тогда хо — точка строгого перегиба.
Доказательство. Заметим, что Xo в силу условия о) Ф O является точкой возрастания или убывания для /(2кЦх). Рассмотрим проколотую ^-окрестность U ТОЧКИ Xo1 в которой /(2кЦх) меняет знак при переходе через жо и сохраняет знак внутри каждой из двух ее полуокрестностей.
Далее можно считать, что к >2, так как при A=I теорема 4 следует из теоремы 3. Пусть X 6 U. По формуле Тейлора имеем
(2*-2)!
(X-X0)'
где с = с(х) Є U и (х — хо)с(х) > 0. Но (х — xo)2fc-2 сохраняет знак
при X € U, a /(2Л)(с) меняет знак. Поэтому и /^(ж) меняет знак,
следовательно, по теореме 2 точка жо — точка строгого перегиба. Теорема 4 доказана.
Примеры. 1. у = X3: точка 0 — точка перегиба (строгого). 2. у = х2к+1: точка 0 — точка перегиба (строгого).
Определение 2. Прямая х = a на плоскости хОу называется вертикальной асимптотой функции f{x), если один из пределов
