Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Далее будем считать, что рассматриваемая база множеств В обладает хотя бы одной фундаментальной монотонной последовательностью. Кроме того, полагаем, что пересечение всех окончаний базы В пусто.
Рассмотрим, наконец, функцию /(я), определенную на некотором окончании 6 базы множеств В.
Определение 3. Число I называется пределом по Гейне функции f(x) по базе В, если для всякой монотонной по базе В последовательности {х„} имеем, что lim f{xn) — I.
П —VOO
В этом случае пишем Hm — Hm f(x) = I.
в
Имеет место теорема об эквивалентности определений предела по Гейне и в обычном смысле, т.е. по Коши. Приведем ее формулировку (см. ч. I, лекция 30).
Теорема 1. Для существования предела Hm — lim/(r)
в
необходимо и достаточно существования lim f(x) по Кощи. При этом имеем
Hm- lim f (x) = lim/(ж). в в
439 Для того чтобы подчеркнуть, что lim/(х) есть обобщение предела
в
по Коши, будем также писать
lim f{x) = C-Yimf{x).
В в
Доказательство этой теоремы опирается на две следующие леммы, имеющие самостоятельный интерес.
JT е м м а 1. Пусть {хп} — монотонная последовательность по базе В. Тогда найдутся ее подпоследовательность у к = Xnк и соответствующая ей последовательность окончаний {bk € В] такие, что при всех & Є N имеем bk+i С bk, Ук € Ьк, но ук ?
Определение 4. Последовательность окончаний {&*} из леммы 1 будем называть основной последовательностью окончаний.
Ее члены обозначим символом .
JI е м м а 2. Для любого окончания b 6 В найдется член bk последовательности основных окончаний, для которого имеем bk С Ь.
Введенные выше понятия позволяют по-новому подойти и к общему определению равномерной сходимости. Для этого определим на декартовом произведении XxY двух множеств X и Y функцию /(х, у) и будем считать, что на множестве X задана база В.
Определение 5. Функция f(x,y) сходится к функции g(г/) по базе В равномерно на множестве У, если для всякого є > О найдется окончание Ь(є) Є В такое, что при всех х Є Ь(є) независимо от у € У справедливо неравенство |/(х, у) — у(г/)| < є.
В этом случае пишем /(х, у) ^д(у).
Определение 6. Будем говорить, что функция f(x,y) сходится по Гейне к функции g[у) равномерно на У, если для любой последовательности {х„}, монотонной по базе В, ' функциональная последовательность fn{y) = /(xn,у) сходится к д(у) равномерно на множестве Y.
В этом случае пишем f(x, у)
§ 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
Теперь мы можем перейти к теореме об эквивалентности понятий равномерной сходимости по Коши и по Гейне.
440 Теорема 1. 1. Если функция /(х, у) сходится по Гейне к д(у) по базе В равномерно на множестве У, то тогда имеем f(x, у) ^ д(у).
2. Если f{x,y)Ag{y), то f{x, у) (?=fm д{у).
Доказательство. Рассмотрим сначала утверждение 1.
(в\
Будем рассуждать от противного. Допустим, что
д{у) для
любой монотонной по базе В последовательности {хп}, но равномерная
сходимость /(х, у) ^>у(у) не имеет места. Последнее условие означает,
что найдется є > 0 такое, что для любого окончания 6 Є В найдутся точки хь Є 6 и уь Є У такие, что \/{хь, уь)—д[уь)\ > Возьмем сначала в качестве такого b окончание 6і из основной последовательности окончаний и обозначим через х\ и у\ соответствующие ему точки X^1 и JZfr1. Точка Xi не может принадлежать сразу всем окончаниям 6, так как их пересечение пусто. Поэтому найдется 6 Є В с условием Xi ^ Ь. По лемме 2 найдется число к\ такое, что bki С и для него также имеем xi ^ ^1. Теперь в качестве X2 и у2 возьмем точки x2 = хе € и у2 = уг € У и повторим указанную процедуру снова
к J KJ
и снова. Таким образом мы получим последовательность точек хп и Уп, для которых справедливо неравенство |/(хп, уп) — #(уп)[ > є при всех «Є N.
Покажем, что последовательность х„ является монотонной по базе В. Для этого установим сначала ее фундаментальность. Заметим, что последовательность натуральных чисел кп монотонно возрастает. Но всякое окончание bo € В по лемме 2 § 2 содержит некоторое Ько, а при кп > ко имеем xn+i 6 bkf} С bko С &о, значит, вне 6о лежит не более ко точек из последовательности {х„}, т.е. она фундаментальна.
Чтобы доказать монотонность хп, заметим, что хп $bkn, a Xn+1 ? bkn. Но если для некоторого bo ф Ькп мы имеем условие хп Є bо, то из двух допустимых включений 6о С Ькп или 60 D Ькп может иметь место именно второе, так как иначе хо Є С Ькп, т.е. xn G bkn, что неверно. Но тогда хп+і Є bkn С Ьо> т.е. последовательность {хп} монотонна.
Итак, мы построили монотонную последовательность точек хп ? X такую, что при соответствующих уп Є У справедливо неравенство |/{хп,уп) — 0(Уп)| > ? при всех »6 N. Это значит, что равномерная сходимость функциональной последовательности /п (t/) = /(xn, у) к функции д(у) При м оо не имеет места, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, утверждение 1 доказано.
Рассмотрим утверждение 2. Поскольку /(х, у) =>д{у), при любом
є > О найдется окончание b = 6(e) Є B7 такое, что при всех у Є У и при всех X Є 6(e) имеем |/(х, у)~ <?(у)| < є. Пусть теперь {хп} — любая монотонная последовательность по базе В. Тогда вне 6(e) лежит лишь конечное множество точек xn И При достаточно большом Ti > По(е)
