Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Теперь требуемый результат вытекает из теоремы 1.
Теорема2 (признак сравнения). Пусть Y Pn и 12 Яп— два ряда с неотрицательными членами и пусть, начиная с некоторого щ, для всех п > по имеем 0 < <jn < pn. Тогда:
а) сходимость ряда Y Pn влечет за собой сходимость ряда Y^ni
б) из расходимости ряда Y Яп следует расходимость ряда YPn-
Доказательство. Без нарушения сходимости можно отбросить первые по членов каждого ряда. При всех п > п0 полагаем
«п = bn+i - bn +оо, t
1 1 1
п —
h bn+i bi
m=n0 + l
т=г»о + 1
12*
355 Тогда для любого п > по имеем 0 < tn < sn. В случае а) последовательность {sn} ограничена, следовательно, и {<п} тоже ограничена и ряд У]дп сходится. В случае б) последовательность tn +00,
* ^^^ г
поэтому Sn —> 4-сю, т.е. ряд Yl Pn расходится. Теорема доказана.
Определение 2. Ряд YlPn в теореме 2 называется мажорантой для ряда Yl Чп, а ряд Yl Чп — минорантой для ряда Yl рп. Говорят еще, ЧТО ряд Yl Pn мажорирует ряд YlQnr а последний, в свою очередь, его минорирует.
Аналогичное определение имеет место и для неотрицательных числовых последовательностей.
Схема применения признака сравнения состоит в подборе подходящей мажоранты для доказательства сходимости ряда или миноранты для доказательства его расходимости. Обычно в качестве мажоранты и миноранты используются ряды с общим членом более простого вида, чем у исходного ряда, либо ряды общеизвестные, например гармонический ряд, геометрическая прогрессия и т.д.
Пример. (Признак разрежения Коши). Если последовательность
OO .OO
рп > О не возрастает, то ряды Yl Pn и Yl %kP2k сходятся и расходятся
M=I Л=1
одновременно.
Доказательство. Поскольку рп > 0, последовательность частичных сумм ряда ^pn не убывает, а любая ее подпоследовательность Snfc сходится и расходится одновременно с sn. Далее, для любого натурального п найдется целое число к с условием 2fe_1 < п < 2*. Для таких пик определим последовательность Ьп = р2* • Тогда согласно условию выполнены неравенства
^n —Р2к <'Рп < Р2ь-1 — Следовательно, для частичных сумм <r2fc-i и сг2м ряда Yl^n имеем
= I> =E S І> =
п — 1 т—1 п = 1
2к-і 2к~і = S2* < 2 ^ 6n = ? 2тр2т = 2<r2fc-i.
n—1 т=1
Это значит, что <г2* является минорантой, а 2сг2*-і — мажорантой для s2k. Таким образом, ряды YlPn и Yl^k Р2к сходятся и расходятся одновременно, что и утверждалось выше.
356- Идея, заложенная в признаке сравнения, позволяет вывести и некоторые другие полезные утверждения подобного рода. Следующая теорема относится к их числу.
ТеоремаЗ (обобщенный признак сравнения). Если в условии теоремы 2 неравенство дп < рп заменить неравенством -t^- < -^k, то ее утверждение также будет иметь место.
Доказательство. Поскольку отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на его сходимость, с самого начала можно считать, что п0 = 1. Перемножая все неравенства из условия теоремы до номера п включительно, приходим к неравенствам вида
Чп . Pn .
— < —і QnPi < PnQ 1-
Qi Pi
Применяя теорему 2, мы получаем требуемый результат относи-
EOO
п=іЯп и Qi/^n-iPn, а так как умножение всех членов ряда на одно и то же число, отличное от нуля, не влияет на сходимость, то тем самым теорема 3 доказана полностью.
Теорема4 (признак Даламбера). Пусть для членов ряда Ylpn, начиная с некоторого номера tiq, выполнены условия:
1) Pn > 0;
2) Dn = < q, где 0 < q < 1.
Тогда ряд YllPn сходится. Если же при всех п > по вместо неравенства 2 имеем pn+i/pn > то ряд YlPn расходится.
Доказательство. Сравним ряд Yl Pn с° сходящимся рядом Yl bn > где 6„ = ^n. При п > по имеем
Pn +1 ^ Ьп + 1
- < Q = ~~ L—•
Pn On
Поэтому первое утверждение теоремы 4 вытекает из теоремы 3.
Во втором случае надо положить bn — 1 для всех п. Тогда ввиду расходимости ряда Yl^n и неравенств
Рп + 1 > J _ Ьп + 1 Pn ~ Ьп
из той же теоремы 3 следует расходимость ряда Yl Pn ¦ Теорема 4 доказана полностью.
357- Теорема5 (признак Даламбера в предельной форме). Рассмотрим ряд Y Pn с условием рп > 0 для всех п. Положим
у Pn +1 ,. Pn +1
9= Iim-, г= Iim -.
п->оо рп П —> OO Pn
Тогда при g < 1 ряд рп сходится, а при г > 1 — расходятся. Напомним, что
hm an = mf sup an, lim an = sup mf an.
n-+oo rneN n П-+-00 mGiV n
n>m n>m
Доказательство. Рассмотрим сначала первый случай. Положим gi = 1P-. Тогда q < q\ < 1. Поскольку lim 2^ti = q, при
1 Г»-+OO "п
некотором По имеем
Pn+1 . Ч + 1 . 1 - Ч - ,
sup _ < gi = —— = <? + —-— < 1.
n Pn ^ ^
П>По
Следовательно, ряд YPn сходится в силу первого утверждения теоремы 4.
Рассмотрим теперь второй случай. Положим г\ = . Тогда имеем г > гі > 1. Поскольку Iim 2^tl = г, при некотором «і имеем оценку
П—ЮО ™
' f Pn + 1 ^ Г+ 1 і , Г- 1 ^ ,
mf -> T1 = —— - 1 + > 1.
n Pn 2 2
П>Пі
Тем самым ряд Y Pn расходится по второму утверждению теоремы 4. Теорема 5 доказана полностью.
Замечание. При q = 1 вопрос о сходимости ряда Y Pn в теоремах 4 и 5 остается открытым. Для примера можно указать на ряды Y І/"2 и °ДИН из которых сходится, а второй — расходится,
