Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При такой постановке вопроса геометрические величины, геометрические факты нельзя рассматривать изолированно от других явлений, с которыми они необходимо связаны. Например, длина отрезка определяется путем откладывания твердого масштаба, так что измерение длив необходимо связано с движением твердых тел, т. е. с механикой. Геометрия неотделима от механики. Между тем измерение длин внутри круга при интерпретации геометрии Лобачевского производится совсем иначе, как это было указано в § 4; хорда получает при этом бесконечную длину. Ясно, что так определенное измерение не соответствует первоначальному представлению об измерении, возникшему именно на основе механического перемещения сравниваемых реальных тел. Вообще фигуры, равные в смысле эвклидовой геометрии, это, по самому происхождению эвклидовой геометрии, те фигуры, которые накладываются друг на друга путем механического движения. В интерпретации геометрии Лобачевского равенство определяется иначе, роль движений там играют другие преобразования. Следовательно, если геометрические факты внутри круга брать в их необходимой связи с мехапикой, то мы должны признать, что на самом деле внутри круга имеет место (с большой точностью) именно эвклидова геометрия.
Эвклидова геометрия — это та, в которой роль движения играет обычное механическое движение твердых тел. Именно поэтому люди § 10. Абстрактная геометрия и реальное пространство
175
открыли сперва эвклидову, а не какую-либо другую геометрию. Но развитие физики привело теперь к выводу, что законы ньютоновской механики и вместе с ними законы эвклидовой геометрии являются лишь приближением к более точным и общим законам. В этом изменении законов геометрии, в переходе от эвклидовой к римановой геометрии, осуществляемом в теории относительности, играла роль не только механика: не меньшее, если не большее, значение имела здесь теория электромагнитных явлений и оптика. Геометрия, как наука о свойствах пространства, связана с физикой, зависит от нее и может быть отделена от нее лишь в абстракции, в известных рамках.
Зависимость геометрии от физики, зависимость свойств пространства от материи была явно указана еще Лобачевским, который предвидел возможность изменения законов геометрии при переходе к новой области физических явлений. В противоположность этой материалистической точке зрения, известный математик Пуанкаре еще сравнительно недавно утверждал, будто выбор той или иной геометрии диктуется лишь соображениями простоты или «экономии мышления» в духе известного идеалиста Маха. На этом основании Пуанкаре предсказывал даже, что наука легче откажется от закона прямолинейного распространения света, чем от эвклидовой геометрии, поскольку она «самая простая». Однако Пуанкаре пе дожил всего трех лет до окончательного построения общей теории относительности, в которой поступают как раз наоборот: отказываются от эвклидовой геометрии, но сохраняют закон распространения света, правда, в обобщенной форме: свет распространяется по геодезическим линиям. И это был не первый случай крушения махистских предсказаний. На пороге нашего столетня махисты и другие идеалисты близких толков утверждали, будто атомы являются лишь мысленными символами или чем-нибудь в этом роде, но никак не объективной реальностью. Между тем не прошло и нескольких лет, как реальность атомов была доказана самыми убедительными опытами. Несмотря на все это, идеалистическое понимание геометрии, как и других наук, еще сохраняется среди тех буржуазных ученых, для которых буржуазная идеология оказывается сильнее объективной истины..
Итак, мы приходим к следующим выводам. Одну и ту же выделенную совокупность фактов можно, вообще говоря, описывать по-разному, и все такие описания истинны, раз они отражают действительность. Однако геометрические факты во всей их общности никак нельзя рассматривать в отрыве от других явлений. Только так можно устанавливать свойства пространства, поскольку оно является универсальной формой существования материи. А беря геометрию в связи с физикой, мы необходимо должны приспосабливать их друг к другу, и тогда выявляется существенное различие между разными «геометриями», которые в отрыве от физики могут казаться отличающимися лишь большей или меньшей простотой. Эвклидова геометрия появилась не потому, что она проще других, а по- 76
1 лава XVII. Абстрактные пространства
тому, что она соответствует механике. Теперь же именно в связи с развитием физики в теории относительности переходят к более сложной геометрии — римановой.
Словом, в отношении к свойствам реального пространства истинна та геометрия, которая достаточно точно отражает свойства пространственных отношений во всей их общности и которая, стало быть, отвечает не только чисто геометрическим фактам, но также механике и вообще всей физике.
5. То немногое, что было сказано выше о теории относительности, не касается, однако, главного в ее содержании. Б понимании проблемы пространства она пошла существенно дальше, чем об этом думали Лобачевский и Риман.
Наиболее существенное и основное положение теории относительности состоит в том, что пространство неотделимо полностью от времени, и что они вместе образуют единую форму существования материи: четырехмерное многообразие пространства-времени. События в мире характеризуются местом и временем, а следовательно, четырьмя координатами: тремя пространственными и четвертой временной — временем события. События образуют в этом смысле четырехмерную совокупность. Эту-то четырехмерную совокупность с точки зрения ее структуры, в отвлечении от свойств отдельных явлений и рассматривает прежде всего теория относительности. Она не является в своей основе и сущности ни теорией быстрых движений, ни космологией, ни новой теорией пространства или времени, — это именно теория пространства-времени как единой формы существования материи.
