Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как dy ^dy2 = dy2dyv то второй и третий члены удобно считать одинаковыми: g12 = g21 и вообще gik=-gki; это возможно, поскольку важна только их сумма (gik + gki) dytdyk.
Квадратичная форма (13) положительна, так как, очевидно, dsl^> О, кроме того случая, когда все дифференциалы dyf равны нулю.
Имеет место также обратное. Именно, если в га-мерном пространстве, где введены координаты ?/,, у2..... уп, задать элемент длины формулой (13) с тем условием, что стоящая там квадратичная форма положительна (т. е. всегда больше нуля, кроме того случая, когда все
1 Квадратичной формой от некоторых величин называют алгебраическое выражение, являющееся по отношению к этим величинам однородным многочленом 2-й степени,
11 Зак. № 812 162
1 лава XVII. Абстрактные пространства
(Iyi = O), то пространство будет римаповым. Иными словами, вблизи каждой точки А можно будет ввести новые специальные координаты X1, X2,..., хп так, что в новых координатах в этой точке элемент длины будет выражаться простой формулой (12)
ds2 = dx\ dx\ -{-...-}- dx\
Таким образом, риманова метрика (т. е. определение длин, эвкли-довское в бесконечно малом) может задаваться любой положительной квадратичной формой (13) с коэффициентами gik, являющимися функциями координат у{. Таков общий метод задания римановой метрики.
Кривая в римановом пространстве задается тем, что все п координат точки меняются в зависимости от одного параметра t, изменяющегося в некотором промежутке
Vi = Viif)* У» = УА1)>-• У, = У»{*) (a<f<6). (14)
Длина кривой выражается интегралом
s—Jrfs= jgikdy{dyk .
В случае кривой, заданной уравнениями (14),
(ІУі = V\dt..... dyn = y'dt,
поэтому
і
* = IVTjwMidt- (15)
а
Так как g№ являются известными функциями координат yv...,yn, а эти последние зависят известным образом от t по формулам (14), то в формуле (15) под знаком интеграла стоит вполне определенная для данной кривой функция от t. Стало быть, интеграл от нее имеет определенное значение, и тем самым кривая имеет определенную длину.
Длина кратчайшей из кривых, соединяющих две данные точки А, В, принимается за расстояние между этими точками. Сама эта кривая — геодезическая — играет роль аналога прямолинейного отрезка AB. Можно доказать, что в малой области любые две точки соединяются единственной кратчайшей линией. Сама задача нахождения геодезических (кратчайших) линий есть задача о придании минимума интегралу (15). Это есть задача вариационного исчисления, с которым читатель мог познакомиться в главе VIII (том 2). Стандартное применепие методов вариационного исчисления позволяет вывести дифференциальное уравнение, определяющее геодезические § 9. Риманова геометрия
163
линии, и установить их общие свойства для любого риманова пространства.
Докажем высказанное ранее основное утверждение, что риманова метрика в любых координатах задается общей формулой (13).
Пусть в некоторой области риманова пространства введены какие-либо координаты ух, у2, ... , Уп- Возьмем в этой области произвольную точку А, и пусть Ж], X2,..., Xn — те специальные для точки А координаты, в которых элемент длины в этой точке выражается формулой (12) или, что то же самое,
dsi = dx\ + dx\ + • - - -f dx\. (16)
Координаты Xi выражаются через координаты j/y (?, / = 1, . . . , п) какими-то формулами
Si = Zi (Ук У і.....Vv),
*2 = h{yu .......Уп),
Хп~1п{У\, у2, ... , у„).
Тогда
, <*/, , . Cf2 djn
dXl = WdVl + W У2 + ¦ ¦ ¦ + Wn уп
и аналогично для dx2, . . . , dx„. Подставим эти выражения в формулу (16). Тогда, возводя правые части в квадрат и объединяя члены с dy^, dyxdy2, dy\ и т. д., получим выражение вида
ds'' = gudy\ + 2g]2dyidy2 + Sn'hil + • • • +gnndyl,
где коэффициенты gn, g\2, . . . gnn как-то выражаются через частные производные (вид этих выражений для нас несущественен). Но это и есть не что иное, как
¦ J
формула (13), написанная в развернутом виде, и тем самым наше утверждение доказано.
Докажем теперь, что, обратно, формула (13) определяет риманову метрику, т. е. что при специальном для каждой точки выборе координат хі ее можно привести к простому виду (16). Пусть
ds2 = 2 gikdyidyk,
причем gut являются функциями координат t/1, ... , уп, и стоящая справа квадратичная форма положительна. Возьмем какую-либо точку А и рассмотрим данную форму только в этой точке. Тогда коэффициенты git оказываются данными числами, а переменными, от которых зависит форма, будут dyx,..., dyH. Из алгебры известно, что всякую положительную квадратичную форму (с любыми численными коэффициентами) можно путем линейного преобразования переменных привести к сумме квадратов (см. главу XVI) т. е. существует такое преобразование
dyi = andxi + ...-I- a.\ndxn,
............................(17)
dyn = anxdxx 4- ... 4" anndxn,
что после подстановки этих выражений в формулу (13) получим
ds^^dx* + ... +dx'n.
1 Не существенно, что у нас переменные в форме — дифференциалы: мы
можем рассматривать их просто как какие-то независимые переменные. 64
