Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Риманово пространство может не быть однородным по своим свойствам, и тогда в нем невозможно свободное движение фигур без изменения расстояний между их точками. Встает вопрос о тех рима-новых пространствах, в которых свободное движение фигур возможно и притом с тем же числом степеней свободы, что и в эвклидовом пространстве. Это будут наиболее однородные римановы пространства.
Оказывается, что эвклидово пространство есть однвродное пространство без кривизны (пространство нулевой кривизны). Другой тип однородного пространства представляет пространство Лобачевского, так что геометрия Лобачевского, так же как геометрия Эвклида, оказывается частным случаем общей римановой геометрии.
Вообще римановы пространства, в которых возможно свободное движение фигур, — это пространства постоянной кривизны: в них кривизна имеет одно и то же значение во всех точках и для всех геодезических поверхностей. (Вместо «тензора кривизны», меняющегося от точки к точке, она задается на этот раз одним числом, общим для всех точек.) Пространство нулевой кривизны будет эвклидовым, пространство отрицательной кривизны — пространством Лобачевского; пространство положительной кривизны имеет ту же геометрию, что и /г-мерная сфера в (/г-f-1)-мерном эвклидовом пространстве.
6. Приложения римановой геометрии не заставили себя долго ждать. Сам Риман, как мы уже говорили, применил ее формальный аппарат к решению задач теплопроводности, но это было пока применение лишь ее формул, а не идеи абстрактного пространства с эвкли-довскпм измерением расстояний в бесконечно малых областях. Такое приложение было дано к цветному пространству, где расстояние между близкими цветами стали выражать, пользуясь римановой метрикой; пространство цветов стали трактовать как особое трехмерное риманово пространство.
Появилось также важное приложение римановой геометрии в механике. Чтобы понять его сущность, рассмотрим сначала движение точки по поверхности. Представим себе материальную точку, например дробинку, которая может свободно двигаться по некоторой гладкой поверхности, но не покидает эту поверхность. Точка как бы движется в самой поверхности. На поверхности можно ввести какие-либо коор- § 9. Риманова геометрия
167
динаты X1, X2', тогда движение точки вполне определяется зависимостью этих ее координат от времени, а скорость — скоростями изменения координат, т. е. их производными по времени X1, х2. Получается, что точка как бы движется в двумерном пространстве, но это пространство не эвклидово, а имеет свою геометрию — внутреннюю геометрию поверхности. Законы движения можно преобразовать так, чтобы в них входили только координаты X1, X2 точки на поверхности, их первые и вторые производные.
Если на точку действует сила, то ее составляющая, перпендикулярная поверхности, погашается сопротивлением — реакцией поверхности и остается лишь составляющая, касательная к поверхности; она действует уже только вдоль поверхности. Таким образом, и сплы, действующие на точку, можно считать действующими в самой поверхности. Внутренняя геометрия поверхности есть частный случай римановой геометрии. Поэтому движение точки по поверхности есть движение в двумерном римановом пространстве. Законы ее движения имеют тот же характер, что обычные законы движения, с той лишь разницей, что в них учитывается внутренняя геометрия поверхности. Это становится особенно ясным из следующего факта, упоминавшегося в § 4 главы VlI (том 2): точка, движущаяся на поверхности по инерции и без трения, движется по геодезической линии с постоянной скоростью. Так как геодезические линии играют на поверхности роль прямых, то указанный факт аналогичен закону инерции; это—тот же закон инерции, но для движения на поверхности или, абстрактно, для движения в двумерном римановом пространстве.
Конечно, в этом абстрактном представлении пока не видно никаких преимуществ, поскольку речь идет все же о движении по обычной поверхности.
Выгода этой абстрактной точки зрения обнаружится сразу, когда мы перейдем к механическим системам, расположение которых задается более чем двумя величинами. Тогда изображение их движения движением точки на поверхности станет невозможным. С таким обстоятельством мы уже встречались в § 7, когда говорили о том, как графические методы перерастают в абстрактное представление о многомерном пространстве.
Итак, пусть имеется механическая система, конфигурация которой, т. е. расположение ее частей, задается п величинами X1, х2, ..., хп. Если речь идет о системе из нескольких материальных точек, то расположение их определяется заданием всех их координат, по три на каждую точку. Другим примером может служить волчок (колесо, вращающееся на оси, которая сама может вращаться вокруг неподвижной точки). Поворот волчка вокруг оси задается углом поворота, а наклон оси — двумя углами, которые она образует с двумя данными 168
1 лава XVII. Абстрактные пространства
направлениями. Получается всего три величины, определяющие положение такого волчка (рис. 32).
Каждую конфигурацию — расположение частей системы — можно мыслить как «точку» пространства всех возможных, ее конфигураций. Эго будет так называемое конфигурационное пространство системы1. Число его измерений равно числу величин X1, х2, ...,хп, определяющих конфигурацию. Эти величины служат координатами «точки» в конфигурационном пространстве. Для системы, скажем, из трех материальных точек получим по три координаты у трех точек — всего девять координат. Для случая волчка имеем три координаты — три угла, так
