Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИТЕРАТУРА1
Александров А. Д. Геометрия. БСЭ, т. 10, стр. 533—550. Делоне Б. Н. Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского. Изд. 2-е, Гостехиздат, 1956. Широков П. А. и Каган В. Ф. Строение неэвклидовой геометрии, Гостехиздат, 1950.
Книга содержит доступное и сравнительно полное изложение геометрии Лобачевского,
Каган В. Ф. ЇЖометрические идеи Римана и их современное развитие. ГТТИ, 1933.
Б л о X и н ц е в Д. И. и Д р~а б к и н а С. И. Теория относительности А, Эйнштейна, Гостехиздат, 1940. Фок В. А. Современная теория пространства и времени. «Природа», № 12, 1953.
Статья в возможно доступной форме освещает основы современных представлений о геометрии реального пространства. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, Гостехиздат, 1955.
Систематические курсы
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. Изд. 3-е, Гостехиздат, І953. Рашевский П. tK. Риманова геометрия и тензорный анализ, Гостехиздат, 1953.
К а р т а н Э. Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1936.
Специальная монография, широко освещающая предмет для. подготовленного читателя.
1 См. также литературу к главам VII (том 2) и XVIII. Глава XVIII ТОПОЛОГИЯ
§ 1. ПРЕДМЕТ ТОПОЛОГИИ
«Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные».
Этими словами Н. И. Лобачевский начинает первую главу своего сочинения «Новые начала геометрии»
Пояснив только что приведенные слова чертежом (рис. 1), Лобачевский продолжает: «Два тела А, В, касаясь друг друга, составляют одно геометрическое тело С. . . Обратно, всякое тело С произвольным сечением S разделяется на две части А, В».
Эти понятия прикосновения, соседства, бесконечной близости, а также в некотором смысле двойственное им понятие рассечения тела — понятия, положенные Лобачевским в основу здания всей геометрии, и являются по существу основными, преимущественными понятиями топологии во всем том объеме, в котором мы теперь понимаем эту дисциплину. Поэтому
правы современные комментаторы великого геометра, когда они говорят 2, что «Лобачевский делает первую в истории математических наук попытку исходить в построении геометрии от топологических свойств тел... Понятия поверхность, линия, точка определяются у Лобачевского в терминах сечений и прикосновений тел». Некоторое представление о разнообразии конкретного геометрического содержания, которое могут отражать понятия прикосновения и сечения тел, как их представлял себе Лобачевский, можно получить из прилагаемых чертежей (рис. 2), заимствованных из уже упомянутого его сочинения.
А \ 8 \
S
N \ N \ \ Ч N \1
Рис. 1.
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. II, Гостехиздат, 1949, стр. 168.
2 Примечания к «Новым началам геометрии». Там же, стр. 465. 182
Глава XVIl 1. Топология
Всякое преобразование геометрической фигуры, при котором не разрушаются отношения прикосновения различных частей фигуры, называется непрерывным; если прикосновения не только не разрушаются, но и не возникают вновь, то преобразование называется топологическим. Следо-
вательно, при топологическом преобразовании какой-либо фигуры, части этой фигуры, находящиеся в соприкосновении, остаются соприкасающимися, а части, не соприкасавшиеся, не могут стать соприкасающимися; короче говоря, при топологическом преобразовании не происходит ни разрывов, ни склеиваний. В частности, две различные точки не могут слиться в одну точку (в этом случае произошло бы новое прикосновение;
рис. 3). Поэтому топологическое преобразование всякой геометрической фигуры, рассматриваемой как множество образующих ее точек, есть преобразование не только непрерывное, но и взаимно однозначное: каждые две различные точки фигуры преобразуются в две различные точки. Таким образом, топологические преобразования являются взаимно однозначными и взаимно непрерывными.
Наглядно, топологическое преобразование какой-либо геометрической фигуры (линии, поверхности и т. п.) можно себе представить следующим образом.
Предположим, что наша фигура изготовлена из какого-нибудь гибкого и растяжимого материала, например из резины. Тогда можно подвергать ее всевозможным непрерывным деформациям, при которых она в одних своих частях будет растягиваться, в других — сжиматься и вообще будет всячески изменять свои размеры и свою форму. Например, придав замкнутой резиновой нити форму окружности, мы можем затем растянуть ее
а.
Рис. 2.
Рис. 3. § 1. Предмет топологии
183
в чрезвычайно вытянутый эллипс, можем придать ей форму правильного яли неправильного многоугольника, а также формы весьма причудливых замкнутых кривых, некоторые из которых изображены на рис. 4. Но мы не можем посредством топологического преобразования превратить окружность в восьмерку (для этого пришлось бы склеить две различные точки окружности; рис. 5) или в отрезок (для этого пришлось бы склеить одну полуокружность с другой или, наоборот, разорвать окружность в какой-
