Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего отметим, что скалярное умножение векторов обладает следующими свойствами:
1'. * = при Х=?0.
2'. X- Y — Y ¦ X.
3'. (с*) - K = с (X - Y).
4'. + Y = X1 Y+ X2- Y.
Выполнение этих свойств непосредственно следует из выражепия скалярного произведения через координаты.
Введем теперь в рассмотрение вектор Y-\-tX, где і — любое действительное число. Имеем I Y-\-lXI2^O, ибо квадрат длины вектора не может быть отрицательным. Но в силу свойств скалярного произ- § 2. Линейное -пространство
57
ведения I K-H*!2 =I К|2+ 2^-К+г21^-I2. Далее известно, что квадратный трехчлен может оставаться неотрицательным при всех значениях действительной переменной I только в том случае, если его корнн мнимые или равные, т. е. если его дискриминант отрицателен или равен нулю. Но дискриминант трехчлена | К|2 -f- 2іХ- У -f-1'1 \Х|2 равен 4 (X • Yf- 41 Х\21 К|2, и, следовательно, (Х- Yf-|*|2| К|2<0,. что равносильно неравенству Коши—Бупяковского.
\ X • Y\
Из доказанного неравенства вытекает, что ' , v, ^ 1, п, следова-
I л I I Г |
телыю, определение угла по формуле (3) законно.
Далее, легко выводятся неравенства
|*|-|К|<|*± K|<|Jf| + |K|,
пз которых, в частности, следует существование треугольника со сторонами I Kj н I*—К|, так что данное выше нестрогое, по геометрически наглядное определение угла также приобретает законную силу.
Аксиоматическое определение ?-мсрпого эвклидова пространства. В предыдущем пункте мы ввели понятие длины вектора, угла и скалярного произведения в пространстве строк. В общем аксиоматически определенном /г-мерном действительном линейном пространстве эти понятия определяются тоже аксиоматически, причем в основу кладется попятне скалярного произведения.
Скалярным умножением векторов линейного действительного пространства называется сопоставление каждой паре векторов XnY действительного числа, называемого пх скалярным произведением X- К, причем это сопоставление должно удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):
1'. X-Х>0 прп X=^O1 0 0 = 0. 2. X Y=Y-X.
3'. (сХ) • Y = c (Х - К).
4'. (X1+Xt)- Y = X1- Y+X2- К. _
Далее, за длину вектора нрнпимается число уХ-Х, за косинус
X • Y
угла между векторами X п К— число, равное | ^ ^ . Для закон-
пости этого последнего определения необходимо установить справедливость неравенства Коши—Бупяковского (Х - К)2| А |21 К|2. Но это делается совершенно так же, как было сделано в предыдущем пункте. В проведенном доказательстве как раз и были использованы только свойства 1', 2', 3' и 4' скалярного произведения, специфика пространства строк в этом доказательстве не играла никакой роли. Действительное линейное пространство, в котором введено скалярное-умножение, удовлетворяющее аксиомам 1'—4', называется эвклидовым-пространством. ,58
Глава XVI. Линейная алгебра
В различных конкретных линейных пространствах, изучаемых в математике, скалярное произведение вводится различными способами, выбор которых обусловливается существом вопроса. Например, в пространствах, элементами которых служат функции от одной переменной X(t), определенные на заданном промежутке за скалярное
произведение двух элементов X (I) и Y (t) часто принимается число 6 ъ
J X{t)Y (t)dt или число J ^ (О У (і) P(I) dt, где p(t) — некоторая по-
а а
ложительная функция. Легко видеть, что при каждом из этих определений все аксиомы 1'—4' выполняются.
Ортогональность. Ортонормальный базис. Два вектора эвклидова пространства называются ортогональными (или перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. Легко видеть, что по-парно-ортогональные ненулевые векторы всегда линейно-независимы. Действительно, пусть X1, X2, ..., Xm — попарно-ортогональные ненулевые векторы, И пусть C1X1-^C2X2jC ... CmXm = Q.
По свойству скалярного произведения X1 (c1X1 -f- c2X2 -(- ... -}--j— стХт) = C11X112 = 0, откуда C1 = O. Таким же образом доказывается, что C2=... =Cm = O. Следовательно, Xv ..., Xm линейно-независимы.
Из доказанного следует, что в я-мерном пространстве может существовать не более п попарпо-ортогональных ненулевых векторов, и каждая совокупность из п попарно-ортогональных векторов образует базис пространства. Если, кроме того, длины всех п попарно-ортогональных векторов равпы единице, то образованный ими базис называется ортонормалъным.
Нетрудно доказать, но мы на этом пе будем останавливаться, что в эвклидовом пространстве существуют ортонормалыше базисы и их даже бесконечно много. Более того, если в пространстве R выбрано некоторое подпространство Р, то ортонормальный базис подпрострапства можно дополнить посредством присоединения нескольких векторов до •ортонормального базиса всего пространства.
Векторы в эвклидовом пространстве удобнее всего задавать координатами в каком-либо ортопормальном базисе, так как в этом случае получается особенно простое выражение для скалярного произведения. Действительно, если вектор X имеет координаты (xv jCq у • • • у jCff ) в орто-нормальном базисе^, е2,. ..,еп, а векторУ—координаты (yvy2,... ,у„),т.е.
