Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Cr—-
H
тор», т. е. как элемент некоторого «/г-мерного векторного пространства».
(xA /У А М + 2/Д
^ - \ХЛ [УгХ I х2 + у2 \
Суммой векторов I . I И I . I считается вектор I ^ij-=I; произ-
\xj \yj V« + y«J
/ Сjl/-^ '
¦ ^2 І І і
ведением вектора | . I на число с считается вектор I - |. Совокуп-
J U
ность всех векторов (столбцов) составляет, по определению, и-мерпое арифметическое векторное пространство.
Наряду с /г-мерным арифметическим векторным пространством можно ввести понятие я-мерного точечного пространства, сопоставляя каждому столбцу из п действительных чисел геометрический образ — точку. Тогда л-мерпое векторное пространство определяется следующим образом. Каждой паре точек А и В сопоставляем вектор AB, идущий из точки А в точку В, считая, по определению, его координатами (проекциями на оси координат) разности соответствующих координат точек В и А. Два вектора считаются равными, если равны их соответствующие координаты, аналогично тому, как в трехмерном пространстве мы считаем векторы равными, если один из них получается из другого параллельным переносом.
Между векторами я-мерпого векторного пространства и точками /г-мерного точечного пространства естественным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие. О О
Точка I • I принимается за «начало координат», и каждой точке
,0.
соотносится вектор, соединяющий начало координат с этой точкой. Тогда каждому вектору сопоставляется точка., являющаяся концом этого вектора, в предположении, что его начало совмещено с началом координат. Введение точечного пространства создает новые аналогии, позволяющие лучше «видеть» в. /г-мерном пространстве. §т 1. Предмет линейной алгебры и ее аппарат
47
Однако при дальнейших обобщениях (§ 2) строгое определение точечного пространства становится значительно более сложным и поэтому мы не будем использовать это понятие. Читателю, желающему пользоваться аналогиями, возникающими из рассмотрения точечного пространства, следует представлять себе элементы векторного пространства как векторы, исходящие из начала координат.
Введение геометрической терминологии дает возможность использовать в линейной алгебре аналогии, основанные на геометрической интуиции, создающейся при изучении геометрии трехмерного пространства.
Конечно, этими аналогиями нужно пользоваться с известной осторожностью, имея в виду возмояшость проверить строго логически каждое наглядно-геометрическое рассуждение и применяя только точные определения «геометрических» понятий и строго доказанные теоремы.
Характерной особенностью элементов я-мерного векторного пространства является Наличие действий сложения и умножения на число, по своим свойствам напоминающих действия над числами. Именно, как уже было отмечено в описании свойств действий над матрицами, для действия сложения выполнены переместительный и сочетательный законы, верны распределительные законы (при умножении па чнслр), действие сложения однозначно обратимо, произведение вектора на число дает нулевой вектор в том и только в том случае, если либо вектор есть нулевой вектор, либо число равно нулю.
Однако упомянутыми особенностями обладают не только столбцы (и строки). Ими обладают и совокупности матриц одинакового строения и физические векторные величины: силы, скорости, ускорения и т. д. Ими обладают и некоторые математические объекты совершенно другой природы, например: совокупность всех многочленов от одной переменной, совокупность всех непрерывных функций, заданных на данном отрезке [а, 6], совокупность всех решений линейного однородного дифференциального уравнения и т. д.
Указанное обстоятельство делает полезным дальнейшее обобщение векторного пространства, именно введение общих линейных пространств. Элементами таких обобщенных пространств могут быть любые математические или физические объекты, для которых некоторым естественным образом определены действия сложения и умножения на число. Такой весьма общий и отвлеченный подход к понятию линейного пространства не вносит, как мы увидим далее, никакнх осложнений в теорию: любое линейное (конечно, л-мерное; что это значит, будет объяснено в следующем параграфе) пространство по своему строению и свойствам ничем не отличается от арифметического линейного пространства, по область приложений при этом обобщении значительно расширяется, появляется возможность применять методы линейной алгебры к весьма широкому кругу задач теоретического естествознания. ,48
Глава XVI. Линейная алгебра
§ 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Определение линейного пространства. Переходим к строгому определению линейного пространства.
Линейным пространством называется совокупность объектов любой природы, для которых имеют смысл понятия суммы и произведения на число, удовлетворяющих следующим требованиям:
1. (AT+K) + Z = AT+(K + Z).
2. Существует «нулевой» элемент 0, такой, что X-{-0 = X при любом X.
3. Для любого элемента X существует противоположный — X, такой, что *+(—А) = 0.
4. X + Y= К + АТ.
5. I-AT = AT.
