Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Однородные системы. Однородную систему линейных уравнений
au2/l + апУ.2 + • • • + а1«Уп — 0. a2l2/l + a22?/2 +••¦+- a2"Уп = 0,
атіУі + a,«22/2 + • • • + атпУп = 0
мы будем интерпретировать в /г-мерном эвклидовом пространстве. (Тем самым мы предполагаем, что коэффициенты системы действительные. Для систем с комплексными коэффициентами можно дать аналогичную интерпретацию в унитарном пространстве, причем получатся аналогичные результаты).
Пусть А\, А'г, . .. А'т, Y—векторы эвклидова пространства, координатами которых в некотором ортонормальном базисе являются соответственно
(a,j, a,2, . . ., Я,„), (я21 > я22> • • •» ®2и).....i?m\> ®іл2> ¦ * •> &тп)і
(2/i. Vv • ¦ •> Уп)- 72
Тогда система принимает вид
A1Y = 0, Ar2Y = 0.....ArmY= О,
т. е. каждое решение системы определяет вектор, ортогональный ко всем векторам, интериретирующим коэффициенты отдельных уравнений.
Следовательно, множество решений образует подпространство, ортогонально-дополнительное к подпространству, натянутому на векторы A'v A2, ..., А'т. Размерность последнего подпространства равна рангу г матрицы, составленной из коэффициентов системы. Размерность же ортогонального дополнения, т. е. «пространства решений», равна п — г.
Во всяком подпространстве существует базис, т. е. система линейно-независимых векторов, в числе, равном размерности подпространства, линейными комбинациями которых заполняется все подпространство. Следовательно, среди решений однородной системы существует п — г линейпо-независимых решений, таких, что все решения системы являются их линейными комбинациями. Здесь п обозначает число неизвестных, г — ранг матрицы из коэффициентов.
Таким образом, строение решений однородной системы, а следовательно, и неоднородной, выяснено до конца. В частности, однородная система имеет единственное тривиальное решение X1 = X2 = ... = х„ = О в том и только в том случае, если ранг матрицы из коэффициентов равен числу неизвестных. В силу сказанного в конце предыдущего пункта, то же условие (при выполнении условия совместности) является условием единственности решения и для системы неоднородных уравнений.
Исследования систем, проведенные нами, наглядно показывают, как введение обобщенных геометрических понятий вносит простоту и обозримость в сложный алгебраический вопрос.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Определение и примеры. Во многих математических исследованиях возникает потребность в замене переменных, т. е. в переходе от одной
системы переменных X1, X2, ...,Xn к другой у1г у2.....уп, связанной
с первой посредством функциональной зависимости:
2/i = <Pi(®i. Ч, Хп), 2/2 = <р2 (я,, х2, ..., хп),
Уп-^nixIJ Х21--чХп)' § 4. Линейные преобразования
73
Например, если переменные представляют собой координаты точки на плоскости или в пространстве, то переход от одной системы координат к другой системе влечет за собой преобразование координат, которые задаются выражениями исходных координат через новые, или наоборот.
Кроме того, преобразование переменных возникает при изучении изменений, переходов от одного положения или состояния к другому для таких объектов, положение или состояние которых описывается значениями переменных. Типичным примером этого рода преобразования может служить изменение координат точек некоторого тела при его деформации.
Отвлеченно заданное преобразование системы п переменных обычно интерпретируется именно как преобразование (деформация) «-мерного пространства, т. е. как сопоставление каждому вектору пространства (или его части) с координатами xv X2,..., х„ соответствующего ему вектора с координатами yv у2, ...,уп.
Как уже было сказано выше, каждая «гладкая» (имеющая непрерывные частные производные) функция от нескольких переменных при малых изменениях этих переменных близка к линейной функции. Поэтому любое «гладкое» преобразование (т. е. такое, в аналитическом описании которого функции ^1, ^2.....<р„ имеют непрерывные частные производные) на малой части пространства близко к линейному:
У і = ai А + апх2 -f .. . -f а1ях„ + Ьи
Уг ~ агА -j- а22х2 --{-... -\-а2пхп -)- b2, ..
Уп = аяА + ап2х2 + • • • + а««хп + К.
Уже одно это обстоятельство делает изучение свойств линейных преобразований одной из важнейших задач математики. Например, из теории п линейных уравнений с п неизвестными мы знаем, что необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости системы уравнений (10) относительно X1, х2, ...,х„, т. е. обратимости соответствующего линейного преобразования, является неравенство нулю определителя из коэффициентов. Это обстоятельство лежит в основе глубокой теоремы анализа: для того чтобы преобразование
Уі = ь(хі> х2. • • - .?),
У2 ?2 (xI' Х2> • • • > Xn)t
Уп - 9я {.Х\ > X2i • • • > Xn)i 74
Глава XVI. Линейная алгебра
гладкое в окрестности дайной точки, имело гладкое обратное преобразование, необходимо и достаточно, чтобы в данной точке определитель
0<9х
Cte1 Oxn
0ЧР2 <?Ч>2
Cte1 дх„
d? п dfn
дх1 ()Х„
был отличен от нуля.
Изучение общего линейного преобразования (10) в основном сводится к изучению однородного преобразования с теми же коэффициентами
