Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
4. Алгебраическое дополнение Aij- элемента Ciij- равно, с точностью-до знака, так называемому минору Ay определителя, т. е. определи- '64
1'яава ЛУІ. Линеиная алгєора
телю (я — 1)-го порядка, получающемуся из данного посредством вычеркивания г-й строки и /-го столбца. Для получения алгебраического дополнения минор нужно взять со знаком (—Iyw. Свойства 3 и 4 сводят вычисление определителя порядка п к вычислению п определителей порядка п — 1.
Из перечисленных основных свойств вытекает ряд интересных свойств определителей. Перечислим некоторые на них.
5. Определитель с двумя одинаковыми строками равеп пулю.
Действительно, если определитель имеет две одинаковые строки, то при их перестановке определитель не изменяется, нбо строки одинаковые, но вместе с тем он, в силу первого свойства, меняет знак па обратный. Следовательно, он равеп нулю.
G. Сумма произведений элементов какой-либо строки па алгебраические дополнения другой строки равна нулю.
Действительно, такай сумма является результатом разложения определителя с двумя одинаковыми строками по одной из них. '
7. Общий множитель элементов какой-либо строки можно вынестп за знак определителя.
Это следует нз свойства 3.
8. Определитель с двумя пропорциональными строками равеп пулю.
Достаточно выпестн множитель пропорциональности, и мы получим
определитель с двумя равными строками.
9. Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки добавить числа, пропорциональные элементам другой строки.
Действительно, в силу свойства 3 преобразованный определитель: равен сумме исходного определителя п определителя с двумя пропорциональными строками, который равеп нулю.
Последнее свойство дает хорошее сродство для вычисления определителей. Используя это свойство можно, не меняя величины определителя, преобразовать его матрицу так, чтобы в какой-либо строке (или столбце) все элементы, кроме одного, оказались равными пулю. Затем, разложив определитель по элементам этой строки (столбца), мы сведем вычисление определителя порядка п к вычислению одного определителя порядка п— 1, именно, алгебраического дополнения единственного отличного от нуля элемента выбранной строки.
Например, нужно вычислить определитель
д =
1 1 2' — 1 1 2 1 1
¦1 2
1 1
О 1
¦2 1 § 3. Системы линейных уравнений
65
л =
Добавив ко второму столбцу первый, умноженный на —1, к третьему-первый, к четвертому — первый, умноженный на —2, получим
10 0 0
2 _3 3 —3
—1 3—1 3 1 0—1—1 Разложив А по элементам первой строки, получим
-3 3
Д = 1 •(— I)1+1
3 —1 0 —1
Наконец, добавив к первой строке вторую и разложив по элементам первого столбца, получим
0 2 0
д =
3 —1 0 —1
= 3-(-1)
1+2
2 0 — 1 —1
= -3-(- 2) = 6.
Определитель матрицы А обозначают через j А |.
В заключение отметим ещё одно очень важное свойство определителей.
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, т. е. в сокращенной записи \АВ\ = \А\\В\.
Это свойство дает, в частности, возможность умножать определители одинакового порядка по правилу умножения матриц.
Системы п линейных уравнений с п неизвестными. Теперь, используя аппарат определителей, легко обобщить результаты, полученные ранее для систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными, на системы п уравнений с п неизвестными в предположении, что определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля.
Пусть
апх1 + • • • + o-uxj + • ¦ • + ol»®« = ьх,
cijllx1 + ...-{- anJXj -f- ... -f- а„„Xn — b„
такая система. Обозначим через Д определитель матрицы коэффициентов системы. Он, по предположению, отличен от нуля. Далее, через Aij обозначим алгебраическое дополнение элемента a{J. Умножим первое уравнение на A1J, второе-—на AiJ, ...,п-е — на Anj и сложим. Получим
д Xj = I1Ali + ... + ЪША
nj'
Действительно, коэффициенты при всех неизвестных, кроме Xj, обращаются в 0, ибо они представляют собой суммы произведений алгебраи-
Зак. № 812 66
Глава XVI. Линейная алгебра
ческих дополнений элементов /-го столбца на элементы других столбцов (свойство 6, примененное к столбцам); коэффициент же при неизвестном Xj равен сумме произведений элементов /-го столбца на их алгебраические дополнения, т. е. равен Д.
Таким образом,
Как уже говорилось выше, приведенные рассуждения осмыслены только в случае, если под X1, х2, ...,хн подразумевать решение системы, существование которого тем самым необходимо предполагать.
Таким образом, результатом рассуждения явилось следующее.
Если решение системы существует, то оно дается формулами (6) и тем самым единственно.
Для полноты изложения необходимо доказать существование решения, что достигается подстановкой найденных значений для неизвестных во все уравнения исходной системы. Легко убедиться, используя то же свойство определителя (в применении к строкам), что найденные значения действительно удовлетворяют всем уравнениям.
Итак, верна следующая теорема: если определитель матрицы коэффициентов системы п уравнений с п неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, даваемое формулами (6).
