Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
? = (<!/ — .
G другой стороны, q равно (рис. 6) объему тела, полученного проведением в каждой точке сечения MM' вектора Vdt. Если MM' мало,
то мы можем считать, что V на всем MM' постоянен и равен значению V в точке M. Площадь основания полученного параллелепипеда равна Дг/ХІ (на рис. 6 единичная толщина слоя не указана), а высота — проекции вектора Vdt на ось Ох, т. е. и dt, поэтому
Рис. 6.
qmuby dt
и, следовательно,
и Дг/ Дф.
Разделив это равенство на Ду, после перехода к пределу получим
и = — .
ду
(26)
Аналогичное рассуждение дает для второй компоненты
(26')
Для определения поля скоростей, наряду с функцией тока, вводят еще вторую функцию. Ее введение связано с рассмотрением вращения малых частиц жидкости. Если мы вообразим, что отдельная малая частица жидкости затвердела, то она, вообще говоря, будет иметь вращательное движение. Однако если движение жидкости возникло из покоя и внутреннее трение между частицами жидкости отсутствует, то оказывается, что вращение частиц в жидкости не может возникнуть. Такие движения без вращения частиц носят название безвихревых и играют основную роль при изучении движения тел в жидкости. В гидромеханике устанавливается, что для безвихревых движений существует вторая функция <р(х, у), через которую компоненты скорости выражаются формулами
д<р д<р (27) § 2. Связь с задачами математической физики
187
функция <р называется потенциалом скоростей течения. Будем рассматривать дальше движения с потенциалом скоростей.
Сравнение формул для компонент скорости по функции тока и по потенциалу скоростей приводит к следующему замечательному выводу.
Потенциал скоростей <р(ж, у) и функция тока <|/ (х, у) течения несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнениям Коши — Римана
d<f <?ф
дх ду '
(28)
ду дх у '
Другими словами, функция комплексного переменного
«7 = <р(ж, у)-\- іф(х, у)
есть дифференцируемая функция комплексного переменного. Обратно: если мы будем исходить из произвольной дифференцируемой функции комплексного переменного, то ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши—Римана и могут быть рассматриваемы как потенциал скоростей и функция тока течения несжимаемой жидкости. Функция w называется характеристической функцией течения.
Рассмотрим еще смысл производной w. Пользуясь, например, формулой (22), имеем
dw _ д<р і . <?ф
dz дх ' дх '
В силу (27) и (26') находим
dw
—J— — и-IV
dz
или, переходя к сопряженным комплексным величинам,
»+'*=(?). (29)
dw
где черта над показывает, что надо взять величину, сопряженную с ней.
Таким образом, вектор скорости течения равен сопряженной величине производной характеристической функции течения.
Примеры плоскопараллельвых течений жидкости. Рассмотрим несколько примеров. Пусть
W = Az, (30)
где А—комплексная величина. Из (29) следует
к іг? = ^4.
Таким образом, линейная функция (30) определяет течение жидкости с постоянным вектором скорости. Если положим
A = U0-IV0, ¦188
Глава IX. Функции комплексного переменного
го, разделяя действительную и мнимую части ги, будем иметь
<р(я, у) = U0X -f t0y,
у) = Uoy-V0X,
таким образом, линиями тока будут прямые линии, параллельные вектору скорости (рис. 7).
В качестве второго примера рассмотрим функцию
W = Az2,
считая постоянную А действительной. Чтобы представить картину течения, определим линии тока. В этом случае
ф(ж, у) = 2Аху,
а уравнение линий тока
ху = const.
Это — гиперболы, имеющие асимптотами оси координат (рис. 8). Стрелками показано направление движения частиц по линиям тока при А 0. Оси Ox и Oy также являются линиями тока.
Если трение в жидкости весьма мало, то, заменив какую-нибудь линию тока твердой стенкой, мы не нарушим остального течения.
іУ
JT
Рис. 7. Рис. 8.
Частицы жидкости будут скользить вдоль поставленной стенки. Пользуясь этим принципом и ставя стенки вдоль осей координат (на рис. 8 они изображены жирной чертой), получим в рассматриваемом примере картину безвихревого обтекания жидкостью угла. Важный случай течения дает функция
и> = а(* + 4-)» (31>
где а и R — действительные положительные величины. Функция тока будет § 2. Связь с задачами математической физики
189
л, следовательно, уравнение линии тока
У--fy , = const.
9 X2 -f- уг
В частности, беря постоянную равной нулю, получим или у = 0, или 3?-\-y2 = R2; следовательно, окружность радиуса R есть линия тока. Если мы заменим твердым телом внутренность этой линии тока, то получим течение около кругового цилиндра. Картина линий тока этого течения изображена на рис. 9. Скорости течения мы можем определить по формуле (29)
и -f- iv = a — .
Вдали от цилиндра находим
Iim (и -(- iv) = a,
Рис. 9.
т. е. вдали от цилиндра скорость стремится к постоянной величине и, следовательно, течение становится равномерным. Таким образом, формула (29) определяет течение при обтекании кругового цилиндра равномерным вдали потоком жидкости.
