Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2"

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Математика ее содержание, методы и значение Том 2

Автор: Александров А.Д.
Издательство: Москва
Год издания: 1956
Страницы: 397
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157
Скачать: matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА

МАТЕМАТИКА,

ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ, МЕТОДЫ И ЗНАЧЕНИЕ

ТОМ ВТОРОЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР

МОСКВА 1956 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:

члея-корр. АН СССР А. Д. АЛЕКСАНДРОВ, академик А. Н. КОЛМОГОРОВ, академик М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ Глава V

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Промеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п. При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа. Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планеты или звезды нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.

Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть, вообще говоря, весьма разнообразной (можно сказать, что с простейшими, самыми примитивными функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неявное задание функций).

Задачам разыскания неизвестных функций будут посвящены главы V, VI и VIII. В этой и следующей главе будут рассмотрены, пожалуй, наиболее важные из уравнений, служащих для разыскания функций — так называемые дифференциальные уравнения. Под этом названием понимают уравнения, в которые входит не только сама неизвестная функция, но и ее производные некоторых порядков.

Нижеследующие равенства могут служить примерами дифференциальных уравнений:

^ + = ~ + т*х = А* in®f, S = te,

du д*и д*и дЧ д*и , д2и 4 |

Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

В первых трех из них неизвестная функция обозначена буквой х, а буквой t — независимое переменное; в последних же трех неизвестная функция обозначена буквой и, и она зависит от двух .аргументов х и t или ж и у.

Болыйое зйачение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется главным образом тем, что к решению таких уравнений может быть приведено исследование многих физических проблем и технических задач.

Расчеты электрических машин и радиотехнических установок, вычисление траекторий снарядов, исследование устойчивости самолета в полете или течения химической реакции — все это производится путем решения дифференциальных уравнений.

Весьма часто бывает, что физические законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в форме дифференциальных уравнений и сами дифференциальные уравнения являются средством для точного количественного (числового) выражения этих законов. Читатель в следующей главе увидит, например, как в форме дифференциального уравнения записываются законы сохранения масс и тепловой энергии. Законы механики, открытые Ньютоном, позволяют исследовать движение всякой механической системы при помощи дифференциальных уравнений.

Мы поясним это простым примером. Пусть рассматривается материальная частица массы т, движущаяся по оси Ох. Координату ее в момент времени t обозначим х. При движении частицы ее координата X с течением времени будет изменяться, и знание всего движения частицы равносильно знанию функциональной зависимости х от времени t. Допустим, что движение происходит под действием силы F, величина которой зависит от положения частицы, определяемого коор-

dx

динатой х, от скорости движения V=-^j и от времени t, т. е. F^=F tj. Согласно законам механики действие силы F на ча-

d2x

стицу должно вызвать такое ускорение движения w — j^, чтобы произведение его на массу т частицы было точно равно величине действующей силы, и, стало быть, в любой момент движения должно выполняться равенство

(2)

Это— дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция x(t), описывающая историю движения частицы. Оно является просто записью указанного выше закона механики. Значение же его состоит в том, что оно позволяет свести механическую задачу определения движения частицы к математической задаче решения дифференциального уравнения. § 1. Введение

1]

Ниже читатель найдет другие примеры, показывающие, как изучение различных физических процессов может быть сведено к исследованию дифференциальных уравнений.

Теория дифференциальных уравнений начала развиваться в конце XVII в. почти одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчислений. В настоящее время дифференциальные уравнения стали могучим орудием исследования явлений природы. В мёха-нике, астрономии, физике, технике с их помощью были достигнуты огромные успехи. Ньютон, исследуя дифференциальные уравнения движения небесных тел, получил законы движения планет, установленные Кеплером эмпирически. Леверье в 1846 г. предсказал существование планеты Нептун и определил ее положение на небе на основе численного анализа тех же уравнений.
< 1 > 2 3 4 5 6 7 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed