Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем теперь а( так, чтобы эта функция имела наименьшее значение. Коэффициенты должны быть найдены из системы
A-I(Sn) = O (і = 1, 2,..., п).
Решив эту систему, мы получим, вообще говоря, определенные значе-вин коэффициентов S1,..., йп, дающие I (sn) минимум, и по ним построим приближение к решению
sn (х) = Cp0 (х) 4- ci1 Cp1 (х) -I----4- ап <ря (х).
Построенная так последовательность приближений sB(n = l, 2,...) не при всяком выборе функций 'Jjii будет минимизирующей. Чтобы это было так, нужно, чтобы последовательность функций удовлетворяла некоторым условиям «полноты», на выяснении которых мы останавливаться не будем.
ЛИТЕРАТУРА
Люстерник JI. А. Кратчайшие линии (вариационные задачи). Популярные лекции по математике, вып. 19. Гостехиздат, 1956.
Университетские учебники
А X и е з е р Н. И. Лекции по вариационному исчислению. Гостехиздат, 1955. Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А. Курс вариационного исчислении. Гостехиздат, 1950.
Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. IV, изд. 3-е, Гостехиздат, 1953. Глава IX
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
і 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Комплексные числа и их значение для алгебры. Комплексные числа были введены в математику в связи с решением алгебраических уравнений. Невозможность решить алгебраическое уравнение
Ж2 +1=0 (1)
s области действительных чисел привела к введению условного числа, мнимой единицы і, определяемой равенством
г2 = —1. (2)
Числа вида a-\-bi, где а и b — действительные числа, получили название комплексных чисел. С этими числами стали оперировать как с действительными числами, складывая и умножая их как двучлены. Если при этом использовать равенство (2), то основные операции арифметики над комплексными числами снова приводят к комплексным числам1. Деление комплексных чисел, определяемое как действие, обратное умножению, оказалось также выполнимой всегда однозначным образом операцией, если только делитель не равен нулю. Таким образом, на первых лорах введение комплексных чисел выявило интересное, но пока формальное, обстоятельство: наряду с действительными числами существуют другие числа, комплексные, с которыми также выполнимы все арифметические операции.
Дальнейшим шагом явилось геометрическое изображение комплексных чисел. Каждое комплексное число a -j- bi может быть изображено точкой на плоскости Oxy с координатами (а, Ь) или вектором, идущим из начала координат в точку (а, Ь). Это привело к новой точке зрения на комплексные числа. Комплексные числа — это пары (а, Ь) действительных чисел, над которыми установлены определенные операции сложения и умножения, подчиняющиеся тем же законам, что и операции
1 Комплексные числа известны читателю еще из средней школы, о них см. также главу IV (том 1), § 3. ¦172
Глава IX. Функции комплексного переменного
над действительными числами. При этом обнаружилось замечательное обстоятельство: сумма двух комплексных чисел
(а + bi) 4- (с + di) = (a -L- с) -j- (Ь + d)i
геометрически изображается диагональю параллелограма, построенного на векторах, изображающих слагаемые (рис. 1). Таким образом, комплексные числа складываются по тому же закону, как и векторные величины, встречающиеся в механике и физике: силы, скорости, ускорения. Это дало повод рассчитывать на то, что комплексные числа имеют не только значение чисто формальных обобщений, но могут
быть применимы к изображению реальных физических величин. (a + c)+(i+d.)i Мы увидим дальше, к какому гро-
мадному успеху привела эта точка зрения в различных задачах математической физики.
Однако введение комплексных чисел прежде всего начало приносить успех в области раскрытия законов алгебры и анализа. Область действительных чисел, замкнутая относительно арифметических операций, оказалась недостаточно полной для алгебры. Уже такое простое уравнение, как (1), не имеет корней в области действительных чисел. Замечательным фактом явилась основная теорема высшей алгебры: всякое алгебраическое уравнение
2"+ fllai"-H----+Яя_і2+ая = 0
с комплексными коэффициентами имеет п комплексных корней1.
Эта теорема показывает, что комплексные числа образуют систему чисел, в известном смысле полную, относительно операций алгебры. Совсем не тривиально, что добавление к области действительных чисел корня только одного уравнения (1) приводит к числам а-\-Ьі, в области которых решается любое алгебраическое уравнение. Основная теорема высшей алгебры показала, что теория многочленов, даже с действительными коэффициентами, может получить законченную форму только тогда, когда мы рассматриваем значения многочлена во всей комплексной плоскости. Дальнейшее развитие теории алгебраических многочленов все больше и больше утверждало эту точку зрения. Свойства многочленов раскрываются только при рассмотрении их как функций комплексного переменного.
Степенные ряды и функции комплексного переменного. Развитие анализа выявило ряд фактов, показывающих, что введение комплекс-
1 См. главу IV (том 1), § 3. § 1. Комплексные числа. и ¦ функции комплексного переменного
