Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Приложения к другим задачам математической физики. Приложения теории функций комплексного переменного получили широкое распространение не только в теории крыла, но и во многих других задачах гидродинамики.
Однако область приложения теории функций не ограничивается гидродинамикой: она гораздо шире. Ее методы находят широкое использование во многих задачах математической физики. Чтобы это пояснить, вернемся к условиям Коши — Римана
du_dv
дх ду'
du_ dv
ду дх
и выведем из них уравнение, которому удовлетворяет действительная часть аналитической функции комплексного переменного. Если первое из этих уравнений продифференцировать по х, а второе — по у и сложить, то получим
д2и , д2и_л
dtf^otf и-
Это уравнение (мы с ним уже встречались в главе VI) носит название уравнения Лапласа. Большое число задач физики и механики связано с уравнением Лапласа. Например, если в некотором теле установилось тепловое равновесие, то температура удовлетворяет уравнению Лапласа. Изучение поля тяготения или электростатического поля связано с этим уравнением. При исследовании фильтрации жидкости через пористые среды получаем также уравнение Лапласа. Во всех зтих задачах, связанных с решением уравнения Лапласа, методы теории функций нашли широкие приложения.
Не только исследование уравнения Лапласа, но также исследование более общих уравнений математической физики может быть связано с теорией функций комплексного переменного. Одним из наиболее замечательных примеров такого рода является плоская задача теории упругости. Основы применения функций комплексного переменного к зтой области были заложены советскими учеными Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили.
§ 3. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ГЕОМЕТРИЕЙ
Геометрические свойства дифференцируемых функций. Так же как при изучении функций действительного переменного, в теории аналитических функций большую роль играет геометрическая интерпретация § 3. Связь с геометрией
193
функций. Можно смело сказать, что геометрические свойства функций комплексного переменного не только служат для наглядного представления аналитических свойств функции, но и привели к специальной проблематике этой теории. Круг проблем, связанных с геометрическими свойствами функций, получил название геометрической теории функций. Как уже говорилось выше, с геометрической точки зрения функция комплексного переменного w=/(z) представляет собой отображение плоскости z на плоскость w. Это отображение может быть задано также двумя функциями действительного переменного
U = U (х, у), v = v(x, у).
Если мы хотим изучить характер отображения в весьма малой окрестности некоторой точки, то мы можем разложить эти функции в ряд Тейлора и ограничиться главными членами разложения
и -а»=0„{х -Хо) 4 O0 {у-у»у+ • • •'
*
где производные берутся в точке (х0, у0).- Следовательно, вблизи некоторой точки всякое отображение можно приближенно рассматривать как аффинное1 отображение
ц — и0 = а (х — х0) -f Ь (у — у0), V — V0 = С (X — X0) -f- d [у — у0),
где
/ди\ , /ди \
а=Uj0- 6=W J0' с • d '
Рассмотрим свойства отображения, реализуемого аналитической функцией вблизи некоторой точки z = x-\-iy. Пусть С — линия, выходящая из точки z; на плоскости w соответствующие точки образуют линию Г, выходящую из точки w. Если z' — соседняя точка и w' — соответствующая ей точка, то нри z'-*z будет w'-*w и
— U> H 1 \ <1 / V
-^rzr7-+f'(Z)i, (34)
1 См. главу III, (том 1), § 11
13 Математика, т. 2 ¦194
Глава IX. Функции комплексного переменного
В частности, отсюда следует, что
jI^-uI /fWI- (35)
Это можно сформулировать следующим образом.
Предел отношения длин соответствующих хорд на плоскости W и на плоскости z в точке z для всех кривых, выходящих из заданной точки Z, один и тот же, или, как говорят, отношение линейных элементов на плоскости w и на плоскости z в заданной точке не зависит от выходящей из точки z кривой.
Величина jf(z)l, характеризующая увеличение линейных элементов в точке z, называется коэффициентом растяжения в точке z.
Допустим теперь, что в некоторой точке z производная f'(z)^ О, тогда величина /'(z) имеет вполне определенный аргумент1. Вычислим его, пользуясь (34),
arS " = ar^W — w) — ar^(2' — z)>
во аг g(w' — w) есть угол ?' хорды ww' с действительной осью, а а гg(z'—z) есть угол ос' хорды zz' с действительной осью. Если мы обозначим через а и ? углы касательных в точке z и w к линиям С и Г (рис. 14), то при
z' —> Z
и, следовательно, в пределе получим
arg/'(z) = ?-x. (36)
Это равенство показывает, что arg/'(z) равен углу <р, на который надо повернуть направление касательной в точке z к линии С для того, чтобы получить направление касательной к линии Г в точке w. В силу этого свойства агgf(z) называют вращением отображения в точке z. Из равенства (36) читатель легко выведет следующие положения. При переходе от плоскости z к плоскости w касательные ко всем кривым, выходящим из заданной точки, поворачиваются на один и тот же угол.
