Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
там (выборочные моменты определяются в разд. 2.2.1). Решение к уравнений дает оценки параметров. Как правило, эти оценки состоятельны.
Самый распространенный метод оценивания — метод максимального правдоподобия. Чтобы ввести этот метод, определим функцию правдоподобия
1^ П/(хг; 0Х, 0,), (1.4.4)
<=1
"де еимвол П означает произведение сомножителей / (х;; 9Ь ... .-,-9*). Метод максимального правдоподобия состоит в опреде-1ении значений 0\, 9ь максимизирующих I. по отношению с 9Х, 9^. Полученные оценки 0Ь 9/е называются оценками шксимального правдоподобия (МП-оценками) и являются состоя-ельными, асимптотически нормальными, асимптотически эффектными при некоторых достаточно общих условиях. Однако они асто оказываются смещенными. Для нахождения численных начений оценок для данной выборки чрезвычайно полезно ис-ользовать ЭВМ.
Третий метод — метод оценивания по минимуму %2. Для этого :етода предположим, что выборочное пространство разделено на взаимно непересекающихся классов, в совокупности исчерпы-ающих все пространство. Пусть щ — наблюдаемое число выбо-
с
очных значений в 1-м классе, I -= 1, с'. Следовательно, ]?] щ =
1=1
= п. Далее, пусть рг (9Ъ 9/,) — вероятность попадания в 1-й ласе, 1 = 1, с. Эти вероятности получаются из гипотетиче-кого закона распределения (или плотности) и являются функ-иями параметров. Метод оценивания по минимуму %2 состоит определении значений 9^ 9*,, минимизирующих
с
1 1^ пР1(в1, . . ., в*) • и >
г=1
ля получения численных решений также полезно применить ВМ.
Наконец, распространенным методом оценивания является гтод наименьших квадратов. Этот метод и его свойства подробно слагаются в гл. 3 и 4.
4.3. Доверительный интервал для параметра
осле того как получена точечная оценка 9 параметра 9, жела-тьно получить данные относительно надежности этой оценки, о можно сделать, вычислив стандартное отклонение выборочного
1.4. Оценка параметров генеральной совокупности
431
распределения оценки 0. Эта величина называется стандартной ошибкой оценки и служит мерой ее разброса. Другой подход состоит в построении доверительного интервала. Для этого интервала определяется вероятность того, что в нем находится неизвестное истинное значение параметра 9. Эта вероятность есть мера нашего доверия к тому, что интервал содержит истинное значение параметра, откуда и происходит название интервала.
Точнее говоря, мы заранее^ выбираем число а, 0 <а < 1, и находим два других числа а (0) и Ь (0), зависящих от оценки 0, так что
Рг \a(Q) < 9 <: Ьф)\ = 1 -а. (1.4.6)
Интервал [а (0), Ь (0)] называется 100(1 —а)-процентным доверительным интервалом для О ХК Вероятность того, что этот интервал содержит истинное значение 0 равна 1 —а (доверительный уровень). Значения а (0) и Ь (0) зависят от выборочного распределения для 0 и называются доверительными границами для 0. Эти границы являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. От доверительных интервалов, основанных на всех возможных выборках объема п, мы ожидаем, что 100 (1 — — а) % их содержит истинное значение 0. Обычные значения для а: 0.1, 0.05, 0.01 соответствуют 90 %- 95 % - и 99 %-ным доверительным интервалам. При фиксированном п чем выше доверительный уровень, тем шире доверительный интервал. Кроме того, при фиксированном а с увеличением п длина доверительного интервала убывает.
Замечания 1.4.1. 1. Если случайная величина X распределена по закону N (р, о2), то МП-оценки для параметров ц и о2 соответ-
п
ственно равны р = — = х, т. е. выборочному среднему, и
п
а2 = — ^ (xt — х)2. Оценка х является несмещенной, состоятель-
i=i
ной и эффективной. Ее выборочное распределение тоже нормальное со средним р и дисперсией а2/п, т. е. х имеет распределение
N (р, о2/п). Оценка ст2 — смещенная, но состоятельная. Выборочное распределение величины по2/о2 есть распределение %2
с п — 1 степенями свободы. Следовательно, среднее для а2 есть (п — 1) аг/п, а дисперсия равна 2 (п — 1) о*/п2.
*) Доверительные интервалы имеют разные формы записи. Например, а (6) < < 6 < Ь (0). Аналогично, если Ь (б) = 9 -|- с и а (9) = 9 — с при^ некотором постоянном с, то можно записать доверительный интервал в виде 6 ± с.
432 Приложение I. Обзор основных понятий
Несмещенная форма МП-оценки для о2 такова:
п
<=1
Это—выборочная дисперсия. Выборочное распределение величины (п — 1) я2/о2 есть х2 (п — 1).
Величина я является обычной оценкой стандартного отклонения ст. Это смещенная оценка. Стандартная ошибка среднего х равна а/1/п и, следовательно, оценивается величиной п.
2. На протяжении всей книги используется важное понятие числа степеней свободы для суммы квадратов. В общем случае, если я2 — такая несмещенная оценка для оа, что величина у5-2/о2 имеет распределение %2 (у), то говорят, что 52 обладает \ степенями свободы.
3. Важным теоретическим результатом относительно выборочных распределений является центральная предельная теорема. Различные формы этой теоремы даны в книге РеПег (1968); здесь мы приведем одну из ее простейших формулировок.
