Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.3.1. Схематическое представление выборочного распределения.
метод получения утверждений относительно деизвестных параметров изучаемой генеральной совокупности. Эти утверждения можно разбить на два основных раздела — оценивание и проверка гипотез. Первый раздел имеет дело с получением Оценок, заданных либо а) посредством вычисления по выборке единственной оценки (называемой точечной оценкой), либо Ь) посредством вычисления интервала, предположительно включающего истинное значение параметра (называемого доверительным интервалом). Эти методы оценивания — точечные и интервальные — обсуждаются
428
Приложение I. Обзор основных понятий
в разд. 1.4. Второй раздел статистического вывода имеет дело с проверкой справедливости утверждений, называемых статистическими гипотезами относительно параметра (ов) распределений, и обсуждается в разд. 1.5.
Для целей статистического вывода предположим, что у нас есть случайная выборка хх,ха) в которой х1 — реализации независимых,"одинаково-распределенных случайных величин Хи Затем мы вычислим некоторую функцию g (хх, хп) от случайной выборки, называемую статистикой. Повторяя эту процедуру для.всех возможных выборок объема п, мы получим выборочную популяцию Распределение этой популяции называется выборочным распределением статистики ? (рис. 1.3.1). Примеры выборочных распределений будут обсуждены в последующих разделах.
Пример 1.1.1 (продолжение). Врач знает, что случайная величина X, определенная как X (да), равная изменению диастоличе-ского давления у пациента да, является непрерывной. Более того, он предполагает, что X распределена по нормальному закону со средним р. и дисперсией о2. Затем он извлекает случайную выборку объема 9 пациентов поблизости от своей клиники и лечит их данным лекарством. На основании наблюдений хх, ха он хочет оценить параметр ц или проверить гипотезы относительно него.
1.4. Оценка параметров генеральной совокупности
Пусть имеется случайная выборка хх, хп реализаций случайных величин Хх, Хп из генеральной совокупности с плотностью (или законом распределения) вида / (х; 01( 9^.). Функция записана здесь в новой форме, позволяющей представить либо плотность, либо закон распределения и указать на зависимость от к параметров 61( 04, часть из которых может быть известна. Желательно оценить один или несколько параметров (Э,- по нашей выборке. Каждая функция ё(Хх, Хп), которую мы выберем для. оценки данного параметра, называется (точечной) оценкой, а численное значение g (хх, х„), которое она принимает на нашей выборке, называется значением (точечной) оценки. Так как каждая оценка сама является случайной величиной, мы можем изучать ее выборочное распределение, чтобы узнать ее свойства. Желательные свойства оценок обсуждаются в разд. 1.4.1, а методы их получения — в разд. 1.4.2. Доверительные интервалы рассмотрены в разд. 1.4.3. Теоретическое изложение и примеры можно найти, например, в книге Ьшс^геп (1968).
1.4. Оценка параметров генеральной совокупности
429
1.4.1. Свойства точечных оценок
Далее в этом разделе будем обозначать параметр, который предстоит оценить, через 0, а его оценку — через 0 = ? (Хь Хп). Одним из желательных свойств оценки является несмещенность. Оценка 0 называется несмещенной, если
?(0) — 0 для всех 0.
Отсюда следует, что выборочное распределение 0 имеет в качестве центра параметр 0, т. е. несмещенная оценка 0 параметра 0 в среднем равна 0.
Для некоторых задач может оказаться возможным найти несколько несмещенных оценок. Интуитивно предпочитают ту из них, которая обладает наименьшим рассеянием. Несмещенная оценка 0 параметра 9, обладающая минимальной дисперсией среди всех несмещенных оценок для 0, называется эффективной. Если V (9) — минимальная дисперсия, а V (0а) — дисперсия любой другой несмещенной оценки 0а параметра 0, то эффективность оценки 0а равна по определению
(1.4.2)
Эта величина заключена между 0 и 1. Эффективная оценка иногда называется несмещенной оценкой с минимальной дисперсией.
Иногда оценка становится эффективной с увеличением объема п выборки. Предельная эффективность оценки при бесконечном увеличении объема выборки называется асимптотической эффективностью. Если асимптотическая эффективность равна 1, оценка называется асимптотически эффективной.^
Другим желательным свойством оценки 0 является состоятельность. Формально оценка 0 называется состоятельной, если для любого положительного е.
Рг {10 — 01< е} 1 при п -> со. (1.4.3)
Интуитивно отсюда следует, что при увеличении объема п выборки наша оценка приближается к истинному значению параметра.
1.4.2. Методы оценивания
Поскольку не существует единственной, наилучшей процедуры оценивания интересующих нас параметров 0Ъ 62, 0А, представим в этом разделе некоторые стандартные теоретические методы оценивания. Старейшим из современных методов получения точечных оценок является метод моментов. Вкратце, чтобы оценить А параметров 0Х, 0Л этим методом, приравниваем к первых моментов генеральной совокупности первым к выборочным момен-
430
Приложение I. Обзор основных понятий
