Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть у нас есть п объектов, у каждого из которых мы измеряем к характеристик. Пусть хх], х2], хк] суть & реализаций для у'-го объекта, / = 1, п. Мы можем представить каждый набор & реализаций вектором х*х1 = (хх1, х2], хк})', у = 1, п, и можем объединить п векторов в двумерный массив, называемый матрицей
•х11 х12 *1л
хк1 хк2 "' хкп
Здесь верхний индекс указывает, что в матрице & строк и я столбцов, а каждая компонента х1} является элементом матрицы. Второе равенство показывает, что типичный элемент на пересечении 1-й строки и у'-го столбца есть л^. Каждый элемент Хц этой матрицы есть реализация одномерной случайной величины Х^, I — 1, у = 1, .... п. Эти к X п случайных переменных можно представить в виде случайной матрицы ^
Хц х12 Хц хгг
Хи
(1.6.4)
1.6.2. Вектор средних значений и матрица ковариаций случайного вектора
Пусть X — случайный вектор с компонентами Хх, Хк и совместной функцией распределения
^(х) = F{xx, . . ., xk) = Vr{Xx <:%,.. ., Xk <: xk). (1.6.5)
Моменты каждой из компонент Xt можно получить из частных распределении величин X*. Например, мы можем найти математическое ожидание \1{ = Е (Хг) величины Xt, i = 1, к. Эти к математических ожиданий можно представить в виде вектора ц средних значений
ц = ?(Х) = (Ui, р,2, . . , \Lk)'. (1.6.6)
Аналогично, дисперсии of величин Хг можно также получить из частных распределений для Xt, i — 1, k. Однако, из совместного распределения Xf и X] можно вычислить новую меру измен-
444
Приложение I. Обзор основных понятий
чивости, называемую ковариацией оц величин Х( и X/. Эта мера определяется равенством' "
а„ = соу(Х1г X,) = ? ((X, — ЫС^_—I*/)). (1-6-7)
I, / = 1, ?Т Заметим, что а1} = а}1 и аи = о|. Если о1} = О, то величины Хг и Xj пагыъ&ются^екор^елидован^ымМ', если > > 0, тоХхР Х^ к среднем изменяются согласованно (одновременно растут или убывают); если о{] < 0, то в среднем Х1 увеличивается одновременно с уменьшением X]. ~
Дисперсии и ковариации образуют вместе ковариационную матрицу 2
II V
/ Е*"* = соу(Х) = о? ¦ ¦ «и
• :ак1 ак1 '
(1.6.8)
Ковариационная матрица является обобщением понятия дисперсии одномерной случайной величины.
1.6.3. Многомерное нормальное распределение
Как было отмечено в разд. 1.1.6, если все компоненты Х1 вектора X являются] непрерывными случайными величинами, то (многомерное) распределение Хь Хк можно задать совместной плотностью / (хг, хк). Из многомерных распределений в статистических приложениях чаще всего используется многомерное (к-мерное) нормальное распределение. Оно задается вектором ц средних значений и матрицей ковариации 2, а его совместная плотность распределения приведена в замечании 1.6.1.1. Если величина X имеет многомерное нормальное распределение с вектором средних ц и матрицей ковариации 2, мы говорим, что X распределена как N (р., 2). Вот некоторые из важнейших свойств этого распределения:
1) Частное распределение величины Хг есть N (\1г, о2), где р.,-есть 1-я компонента вектора ц, а о2 — элемент на пересечении 1-й строки и /-го столбца (т. е. г'-й диагональный элемент) матрицы 2, I = 1, .... к.
2) В более общем случае можно определить частное распределение подмножества I случайных величин из Хъ Хк, 1 < < I < к. Перенумеруем случайные величины так, чтобы это подмножество составляли первые I переменных. Переставим компоненты вектора средних и матрицы ковариации соответствующим образом. Тогда, если определить вектор Х[х1 равенством
х[х1 = (хи .... х;у, (1.6.9)-
1.6. Многомерное нормальное распределение
445
то частное распределение Хг будет многомерным нормальным распределением с вектором средних
V1*1 =(И.....Н)'. (161°)
и матрицей ковариаций
г.,1 — "21 •<т12 ¦ "21 • • "и ¦ "21 (1.6.11)
"12 ¦
3) (Обобщение замечания 1.2.2.5) Для постоянных а, Ьъ Ьк
к
распределение случайной величины У = а + 2 Ь1Х1 является
1=1
к к
нормальным со средним а-\- 2 Ьг\х,1 и дисперсией 2 +
1=1 1=1
/г
гФ//=1
4) Если аг^.= 0 для всех I Ф /, т. е. если 2 — диагональная матрица, то Хь Хк взаимно независимы. В частности, если Хг и Х1 (I Ф /) не коррелированы, то они также и независимы. Другие распределения могут и не обладать этим свойством.
5) Пусть Х1=(Х1, X,)', Х2 = (Хт, Хк)'. Тогда условное распределение величины Х1 при условии, что Х2 = = х2 = (х1+1, хк)',- также является многомерным нормальным распределением. Компоненты вектора средних этого условного распределения являются линейными комбинациями компонент х2, тогда как матрица ковариаций этого условного распределения не зависит от х2 (см. замечание 1.6.1.4). Это распределение играет важную роль в линейной регрессии (гл. 3).
-А-Замечания 1.6.1. 1. Дадим формальное определение многомерного нормального распределения. Пусть 2Ь 1к — взаимно независимые случайные величины, распределенные по закону N {О, 1). Тогда 2кх1 = (Ъу, Z,<,)' обладает стандартным сферическим нормальным распределением с плотностью / (г) =-= (2п)-й/2е-(1/2)2'2> где 2 = гг^ ^ 2/!у Обозначим распределение Ъ через N (О, I), где 0 — нулевой вектор, а I — единичная матрица. Если Акхк — произвольная невырожденная матрица констант, а цйх1 — вектор констант, то Х*х1 = кЪ + ц обладает многомерным (или к-мерным) невырожденным нормальным распределением. Его плотность имеет вид / (х) = (2п)-к/21 2 \~1/2 X
