Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
1.2.1. Биномиальное распределение
Пусть Х1г Хп суть п независимых двоичных случайных величин, каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью р или значение 0 с вероятностью 1 — р. Пусть
Х=%Х{. (1.2.1)
Тогда X — случайная величина с выборочным пространством 5 = {0, 1, п\. Распределение случайной величины X называется биномиальным распределением. Его закон распределения р (0 = Рг (X — I) обозначается через Ьп (I, р) и задается формулами
М1". Р) = (?)р'0-/>)"-'. < = 0, 1, п, (1.2.2)
где
Ю-щгЬг- Р-м»
/г! = 1-2-3-...-(/г-1)/г, *>1, 01=1. (1.2.4)
Величина «6!» читается «6 факториал», величина ("^ называется «биномиальный коэффициент» и читается «число сочетаний из п
1.2. Наиболее употребительные одномерные распределения
415
по Ь. Таблицы факториалов можно найти в математических справочниках, например, Burington (1965), Большее, Смирнов (1965)*.
В табл. 1 приложения II приведены значения вероятностей биномиального распределения для п «g 10 и различных значений р. Например, по этой таблице вероятность того, что X = 3 при п = 10 и р = 0.5 равна Ь10 (3, 0.5) = 0.1172. Это можно проверить и непосредственно с помощью (1.2.2) — (1.2.4). Здесь
(п\ _ /10\ 101 _ 10-9-8 _ 19„ \iJ~\3J~ 3!7! ~ 3-2-1 — 1ZU'
pi = (1/2)3 = 1/8, (1 - р)"~1 = (1/2)7 =» 1/128.
Поэтому Ь10 (3, 0.5) = 120 (1/8) (1/128) = 0.1172.
Интерпретацией Ъп (i, р) служит вероятность появления i единиц при п независимых испытаниях, причем вероятность получения единицы при каждом испытании равна р. Таким образом, если в примере 1.1.3 вероятность р того, что некоторый пациент страдает хроническим бронхитом, равна 1/2, то вероятность наличия в точности 3 больных хроническим бронхитом из 10 пациентов равна Ь10 (3, 0.5) = 0.1172. Таблицу 1 в приложении II можно также использовать для вычисления закона распределения. Например, если X имеет биномиальное распределение с р = = 0.5 и п = 10, то вероятность того, что имеется не более трех
3
единиц, равна Рг (X <: 3) = ? b10 (i, 0.5) = 0.0010 + 0.0098 +
+ 0.0439 + 0.1172 = 0.1719. Для значений п и р, не включенных в эту таблицу, для вычисления биномиальных вероятностей очень полезна ЭВМ.
Иногда удобнее рассматривать долю единиц, а не их число. Для этого введем новую случайную величину
К = 4-=2^ (1-2.5)
с законом распределения
Рг (Y = -L) =, Ьп (i, р), i = 0, . . ., п. (1-2.6)
Ее среднее и дисперсия равны соответственно р и р (1 — р)1п.
1.2.2. Распределение Пуассона
Пусть X — случайная величина с выборочным пространством S = {0, 1, 2, ...}. Величина X обладает распределением Пуассона с параметром к, если
р(0 = Рг(Х = 0=?:7Г-> t-0, 1..... (1.2.7)
416
Приложение I. Обзор основных понятий
где Л вычисляется по формулам (1.2.4), а е — константа, приблизительно равная 2.7183. Таблицы б-*'можно найти в математических справочниках, например, Випгн^оп (1965), Большев, Смирнов (1965) *.
Распределение Пуассона описывает события, происхоягцие в случайные моменты времени. Например, число частиц, вылетевших из радиоактивного источника в единицу времени, число телефонных вызовов в минуту в телефонной сети при стационарном режиме с удовлетворительной точностью можно описать распределением Пуассона. Во всех этих примерах средняя интенсивность в единицу времени равна параметру Я, а вероятность (" событий в единицу времени задается равенством (1.2.7). Более того, распределение отрезков времени между такими последовательными событиями подчиняется экспоненциальному распределению, обсуждающемуся в разд. 1.2.4.
Например, предположим, что для телефонной станции в интервале от 10 до 11 часов дня средняя интенсивность поступающих вызовов в стационарном режиме равна 4 вызовам в минуту. Тогда вероятность поступления не более чем 3 вызовов между 10 : 00 и 10 : 01 равна
1.2.3. Равномерное распределение
Простейшее непрерывное распределение называется равномерным (или прямоугольным) распределением. Случайная переменная X называется равномерно распределенной на интервале [а, Ь], если ее плотность распределения есть
Рг(Х<3)
е~* (1/1 + 4/1 + 16/2 + 32/3) = 0,433.
Рг(Х = 0)Н-----^рг(Х = 3) =
а к хк.Ь,
I (х) = 1
0J в остальных случаях.
(1.2.8)
Функция распределения имеет вид
0, х < а,
X
а
а < х < Ь,
(1.2.9)
Р(х) =
ь
а
1,
х>Ь.
Это распределение иногда обозначается и (а, Ь). Если х — реализация X, то говорят, что х случайно выбрано из интервала [а, Ь].
1.2. Наиболее употребительные одномерные распределения 417
Замечания 1.2.1. 1. Если X есть U (а, Ь), то случайная величина Z = Хь ~^ равномерно распределена на интервале [0, 1 ],
т. е. Z есть U (О, 1). Это распределение называется стандартизованным равномерным распределением.
2. Существуют программы для ЭВМ, выбирающие случайные числа z из интервала [0, 11. Для выбора случайного числа х из интервала [а, Ь] программа выбирает случайное число z из интервала [0, 1 ], а затем вычисляет х = (Ь — а) г + а. Ссылки на описания методов получения г можно найти в библиографии к книге Martin (1968), а также Бусленко и др. (1962) *, Соболь (1968) *, Кляйнен (1978) *.
