Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы сделаем несколько замечаний относительно случаев взрывной и распадной неустойчивостей. Когда Yi = у2 =» — Y3 = —1 (взрывная неустойчивость), мы имеем
(2 1 47 а) qZ-n^n*' ?2-^3.= -^3. Q1 ^23=^2-
Из результатов разд. 1.3 следует, что только Q2 может иметь со-литоны в начальный момент (поскольку r(2) = —<7(2)*). Но если поле Q2 содержало солитоны, то из (2.1.46) следует, что функции aj,3) и ay будут иметь нули в комплексной плоскости. Но если IQf* I и I Qtf" I являются интегрируемыми, то, как следует из результатов разд. 1.3, мы приходим к противоречию, так как в этом случае г(()= + ^(г>* (/=1, 3). Единственный способ разрешить этот парадокс — отказаться от интегрируемости. На самом Задачи на собственные значения
131
деле хорошо известно, что в случае взрывной неустойчивости за конечное время возникают сингулярности (см. также предыдущее рассмотрение солитонных решений, связанных с полной 3X3 задачей).
В случае распадной неустойчивости возможны два варианта:
(a) Yi = Y3 = —1, Y2 = +1. Тогда
О ~ /•/ — — Nt О ~ N = — N* О ~ N = — А/*
(2 1 47Ы ~ 3 ^ 31 "і3' Ч3—JV12 21*
( 7-(1) = -^(1)*, /-(2)— _ q(2)*t r(3) = _^(3)*
Поскольку r(,) = — q(i)*, і = 1, 2, 3, то результаты разд. 1.3 показывают, что всегда существует единственное решение этой задачи (см. также [12]).
(b) Yi = Yg = +1. Y3 = -I- Тогда
О = — N* Q ~ N = N* Q ~ N = -N'
f 1 47с) — 3 v — ' 3 12 21'
/¦") == — qWt r(2)__^(2)»j Г[3) — дт\
Таким образом, волновые пакеты Q2 не содержат солитонов и функция Щ не имеет нулей, поэтому нет солитонов поля Q3 (так же как в случае взрывной неустойчивости). Кроме того, законы сохранения (2.1.13) означают, что мы с необходимостью будем иметь ^-интегрируемость огибающей, если в начальный момент она была /,2-интегрируемой. (Читателям мы посоветуем обратиться к работам Kayna [259], Захарова и Манакова [535] для более детального знакомства с задачей трехволнового взаимодействия.) Это завершает обсуждение задачи нелинейного взаимодействия трех волн.
2.1.d. Многомерные задачи рассеяния. Теперь мы опишем схему построения многомерных нелинейных эволюционных уравнений, связанных с линейной задачей рассеяния. Эта конструкция естественным образом обобщает одномерный случай, уже описанный в начале этой главы, и тесно связана с работой Абло-вица и Хабермана [8]. Другой подход, использующий линейное интегральное уравнение в качестве отправной точки, был предложен Захаровым и Шабатом [546]; он обсуждается ниже в этой главе и в разд. 3 6.
Мы начнем с рассмотрения следующей спектральной задачи и ассоциированной с ней временной зависимости:
(2.1.48) V, = it,V + NV + BV в,
(2.1.49) Vf = QV+ C1V,+ C2Vw+ ... +CmVyy... у.
т раз
Здесь V —это пХ 1-вектор и N, В, Q, С,-— л X «-матрицы. Мы утверждаем, что только одно нелинейное эволюционное уравнение
5* 132
2. МОЗР в других постановках
отвечает каждому виду временной зависимости V/. Это противоположно одномерному случаю, в котором целый класс уравнений был связан с одной и той же структурой временной зависимости (т. е. Vt = QV). Частные случаи задачи рассеяния (2.1.48) были рассмотрены Захаровым и Манаковым (1979) [537], Нижником (1973) [400] и Каупом (1979) [265], при этом были получены требуемые формулы обратной задачи рассеяния. Нелинейные уравнения, которые мы будем обсуждать, являются (с учетом этих результатов по обратной задаче рассеяния) интегрируемыми (а именно, уравнение трехволнового взаимодействия, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и т. д.).
Здесь мы представим эту схему с помощью следующего примера: трехволновое взаимодействие в случае двух пространственных измерений (соответствующие результаты можно получить и для трех пространственных измерений [7]). Как частный случай (2.1.48—49) рассмотрим
(2.1.50) Vx = IZDV + NV+ BVy,
(2.1.51) Vi == QV + CVy.
Предположив, что Zt = 0 и что В, D, С являются постоянными, получим
Vxi = iZD (QV + CVy) + NiV+ N (QV + CVy) +
+ В (QyV + QVy + CVjfj,), Vxi = QxV+ Q az DV + NV + BVy) + + С (iZ DVy + NyV + NVy + BVyy). Приравнивая нулю коэффициенты при V, \у и *уу, получим (2.1.52а) Vw: [С, В] = 0, (2.1.52b) Vy : IZ [С, D] + [Q, В] + [С, JV] = 0, (•2.1.52с) V : il [QD] + [QN] + Qx + CNy - BQy = Nt.
В простейшем случае
C = Cfiij, B = bfi4, D = Clfiij, Nii = 0, причем a,, bi, di — постоянные. При этом (2.1.52а) дает
Z (ClkBkj - BikCkj) = 0 = Cfii - biCi. Уравнение (2.1.52Ь) дает
IZ [С, D] + E (QtkBkj - BikQkj) + Z (CikNkj - NikCkj) = 0, k к
что упрощается до
(2.1.53) Qti = Jr^Kij, ІФ},
Qa = cIi' <7; = COnst, 2.1. Задачи на собственные значения 133
Определим
а,, ¦¦
Ci — с/
- = aH'
Ч bi - Ь, тогда Qij = CiljNtj, іф}, и (2.1.52с) дает
it Z (QikDki - DikQkj) + Z (QikNkj - NikQkj) +
+ Q17, X + Z (CikNkj, у - BikQkj, у) = Nij, t. k
Для Іф} мы имеем
(2.1.54) tg (UijNij (Cli - Cli)) + (Qi - Qj) NiJ +
Z (aik - %) NlkNkl + UijNij, х + CiNij, у = Nii, t. кфі, і
При і = / уравнения удовлетворяются автоматически. Отметим, что (2.1.54) содержит Чтобы исключить зависимость от мы возьмем qi = Ці (S); точнее, пусть Qi — q,-= it,uij(di — dj) (это уравнение удовлетворится, если мы возьмем di = bi, qi=it,Ci). При таком выборе (2.1.54) сводится к
