Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть х — искомое число дней, тогда получается совсем простое уравнение
(10+7) я=90.
19 Любопытно, что в математической литературе Китая XVI в. правило двух ложных положений под влиянием европейского названия называлось «Метод взаимного исправления ложными положениями», а древний метод был забыт.
198
В предыдущей задаче 9, первой из этой группы задач на данное правило, х в точности есть среднее арифметическое между х1 и х2. По-видимому, эта задача «установочная». Следующая за ней, как видели, совсем простая задача, на ней специально демонстрируется правило. Вообще, в задачах 9, 12, 13, 17, а также 11—18 рассматривается / (х)=с или f1 (х)={2 (х) и fi (х) — линейные функции. Задачи 15, 19, 20 в нашей символике более сложные, но с помощью правила двух ложных положений решаются просто. Таким образом, здесь, как и в других книгах «Математики в девяти книгах», соблюдается принцип расположения задач в порядке усложнения.
Правило двух ложных положений рассмотрено даже в том частном случае, который хорошо знаком нашим школьникам по задачам на покупку сукна, чая и т. д. двух сортов, когда предположения делаются либо в пользу первого сорта, либо в пользу второго. Это задача 16:
«Имеется куб из яшмы со стороной в 1 цунь, весом в 7 ланов и куб из камня со стороной в 1 цунь, весом в 6 ланов. Имеется камень-куб со стороной в 3 цуня, внутри него находится яшма, общий вес 11 цзиней. Спрашивается: каков вес яшмы и каков вес камня?» [50, с. 496].
И правило: «Предположим, что весь [куб] из яшмы, [тогда] превышение составляет 13 ланов; предположим, что весь [куб] из камня, [тогда] недостаток — 14 ланов. Недостаток есть [объем] яшмы, превышение есть [объем] камня. Умножь на это вес каждого цуня, получишь веса объемов яшмы и камня» [50, с. 496].
Среди всех этих разнообразных задач для нас самой интересной (далее мы сравним ее с другой) является задача 14, в которой задана система
5ж-|~г/ = 3, ж + 5г/ = 2.
«Объем 5 больших посудин и 1 малой посудины равен 3 ху. Объем 1 большой посудины и 5 малых посудин равен 2 ху. Спрашивается, каков объем большой и малой посудин в отдельности?» [50, с. 495].
По способу, предложенному в книге, оба уравнения сводятся к одному:
х+5 (3—5х) =2,
и полагается либо ^=0,5, либо #2=0,55, тогда соответственно либо г/1==0,5, либо г/2=0,25. Получаем избыток ^==1 и недостаток ?2 = 0,2. Здесь еще нет понятия положительного или отрицательного числа. Знак величины содержится в самом термине. По китайскому правилу двух ложных положений надо составить таблицу в виде
х2 х^\ %2 . V»
199
которая для рассматриваемой задачи 14 имеет вид
/55 50\ V 2 10)
(принимая во внимание, что 1 ху=10 доу = 100 шэнам). Отсюда (55.10 + 50.2 650 ,13 7
Х=--= "12" шэнов=2АХУ> У=~-иХу-
Здесь использован тот вариант правила, который называется «избыток-недостаток» (см. с. 196). Правило двух ложных положений в древней и средневековой математике имело огромное значение, как универсальный прием, решающий широкий класс задач.
11. О происхождении матричного метода. Частные приемы
Что касается происхождения матричного метода, то мы можем только строить догадки, почему в древнем Китае тривиальную идею исключения неизвестных, осуществляемую всеми древними народами при решении простых систем, превратили в регулярный процесс. Нечто подобное впоследствии проделал Леонардо Пизанский (XIII в.) в отношении некоторого класса линейных систем.
По-видимому, созданию регулярного правила способствовала *в какой-то степени счетная доска: китайская матрица, как мы видели, непосредственно с ней связана.
Можно предположить, что регулярность вычислительного процесса удалось подметить уже при решении небольших систем, наподобие ^той, к которой сводятся задачи на «избыток-недостаток»:
а1х — у = Ь1У
у — а2х = ъ2:
Один ^етод решения^таких задач был табличным, другой же сводился, по существу, к решению этой системы при помощи исключения одной неизвестной и сведения ее к одному уравнению. Складывая оба уравнения почленно, получали|сначала значение х, а затем у:
~ — &1 + &2
аг — а2
у = а1х — Ь1 = а2х -]- Ь2.
Эти формулы в книге VII «Математики в девяти нигах» описаны так:
«Еще одно правило: Сложи избыток и недостаток, это делимое. Взяв нормы, которые вносятся, из большей вычти меньшую, остаток является делителем. Объедини делимое и делитель, получится [искомое количество] людей. УмножьТна это нормы,
20
которые вносятся, убавь на избыток или добавь недостаток, это и будет стоимость вещи» [50, с. 492].
Решение проводится в уме при помощи простых арифметических рассуждений. Их приводит Лю Хуэй в своем комментарии к этому варианту правила:
«Смысл этого правила, которое называется избыток-недостаток, состоит в том, что берется разница для совокупности людей; из большей нормы, которая вносится, вычитается меньшая; остаток является разницей для одного человека. Раздели разницу для совокупности людей на разницу для одного человека, получишь число людей» [100, т. I, с. 207].
В этом решении довольно трудно усмотреть «алгебру», оно весьма просто. Мы все же склонны считать, что в данном случае решалась система уравнений. Обратимся теперь к другому примеру из трактата Сунь-цзы, решенному явно как система двух уравнений с двумя неизвестными:
