Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Номер задачи Объем куба У Ребро х = У V
19 20 21 22 1860867 1953 1/8 63401447/512 1937541 17/27 123 12 1/2 39 7/8 124 2/3
Таблица 11
Номер задачи Объем сферы V Диаметр
23 24 4500 1644866437500 20 14300
В трактате Чжан Цю-цзяня правило извлечения квадратного корня для точного значения корня показано в задаче 19 средней книги и приближенно с недостатком в следующих за ней задачах 20 и 21. В первой из них определяется сторона данного квадрата по его площади, а в других последующих задачах производятся преобразования квадрата в круг и наоборот, т. е. для квадрата с известной стороной требуется найти окружность круга, равновеликого данному квадрату, и, наоборот, для круга с известным «обводом» найти сторону квадрата, равновеликого данному кругу. Все эти задачи снабжены подробным описанием вычислений и служат определенным целям: во-первых, применить приближенную формулу для рационального значения корня; во-вторых, показать взаимосвязь квадрата и круга; в-третьих, подвести читателя к задаче, в которой решается полное квадратное уравнение (см. ниже). Кубические корни вполне аналогично применяются в задачах 30 и 31 последней книги трактата. Рассмотрены «преобразования» куба в сферу и наоборот. Приведем данные задач Чжан Цю-цзяня (табл. 13).
Здесь, так же как в «Математике в девяти книгах», в плоских задачах оперируют с бу (шагами) и «полями», а в объемных —
Таблица 12
Номер задачи Площадь Искомая, величина
19 20 .9 = 234567 5 == 420000 х = 484 311/968 С = 648 96/1296
14 Э. И. Березкина
209
Таблица 13
Номер задачи Дано, Найти
19 Площадь поля 127449 Сторона 357 (точное значение)
20 Сторона поля 121 Обвод 419 131/839 (с избытком)
21 Обвод 396 Сторона 114 72/229 (с недостатком)
30 Ребро куба 95 11968 Диаметр сферы 116 40339 (с недостатком)
31 Диаметр сферы 132 Л 34020
Ребро куба Ю8^ддд(с недостатком)
с чи (футами) и абстрактными фигурами. В последних также ти=27/8. Значения корней взяты с недостатком или с избытком по указанным выше формулам для квадратных и кубических корней.
Терминологию во всех позднейших сочинениях заимствуют из «Математики в девяти книгах». Извлечение квадратного корня описывалось выражением пай фан («раскрыть сторону [квадрата]»), извлечение кубического корня — пай ли фан («раскрыть сторону стоящего [квадрата]», т. е. куба), так озаглавлены правила к задачам. В задачах с кругом и сферой употреблены термины пай юань («извлечение [квадратного корня из площади] круга»), пай ли юань (соответственно «извлечение [кубического корня из объема] стоящего круга», т. е. сферы), это также заголовки правил к задачам «Математики в девяти книгах». В самих правилах обычно говорится: и пай фан юй чжи или эр пай фан юй чжи (т. е. «извлеки квадратный корень делением»).
Правило, сформулированное в «Десятикнижье», и схема вычислений таковы.
Пусть х=\/8. Подкоренное число 5, или площадь квадрата, сторона х которого ищется, называется делимым (ши).
«Установи площадь [квадрата] в качестве делимого», — рекомендуется в правиле извлечения квадратного корня.
Подкоренное число не случайно называется делимым: на счетной доске, где производятся вычисления корня, оно помещается во второй строке сверху, как делимое при делении, тогда как первая строка отводится для корня, как при делении первая строка отводилась для частного.
Поэтому и говорили: «Извлеки квадратный корень делением». Это число 5 остается неподвижным на доске в течение всего процесса извлечения корня, тогда как числа в других строках, расположенных ниже, будут передвигаться по разделам согласно правилу.
Если искомое в десятичной системе ж=а1а2а3 (трехзначное число выбираем потому, что в подавляющей части примеров «Де-сятикнижья» оперируют трехзначными корнями), или
(100^ +10а2 + а3)а = 5,
210
то
5 = [Ю0ах]2 + [2 • 100ах • Юа2 + 100а|] + [2 . ЮОа^д + 2 • 10а2а3] +
+ 4 = (5 - Аг) + [ВЛ + СА8] + вл + с**,
где
Л1==5 —(ЮО04)2, ^ = 2000^, С! =100, 52 = 200а1 + 20а2, С2 = 1.
Таковы значения коэффициентов Аг, В^ С{ при а2, а3 и их квадратах.
Согласно китайскому правилу сам процесс извлечения корня состоит из операций двух родов: 1) подбора очередной цифры корня х\ 2) преобразования чисел доски к виду, пригодному для подбора следующей цифры корня.
Прежде чем описать эти операции, в древнем правиле указывается:
«Возьми одну счетную палочку и шагай через одну (колонку)». Имеется в виду, что в самой последней строке помещают единичную счетную палочку и сдвигают ее влево, через колонку, начиная с колонки для последней цифры подкоренного числа. Это позволяет определить число цифр в корне. Движение единичной счетной палочки равносильно, таким образом, разбиению подкоренного числа на группы по две цифры, в последней может оказаться и одна цифра. Одновременно также получается число цзе-суанъ, равное 10й"1, если п нечетно, и 10п~2, если п четно, где п — число цифр в подкоренном числе. Схема такова (табл. 14).
Схема соответствует уравнению
100V2 - 5=0,
где #=100 х', при этом #/ = а1а2а3.
Между строками делимого и цзе-суанъ размещаются промежуточные результаты, полученные согласно правилу.
