Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
185
6. Решение системы
Другая существенная поправка к современной интерпретации правила возникает при анализе пунктов 3 и 4 алгоритма. Здесь мы обнаруживаем специфическую ограниченность табличного метода решения систем линейных уравнений, что объясняет нам, почему китайские математики естественно не перешли к решению задач с помощью определителей, ведь сделал же такой переход от метода фан-чэн японский математик Секи Кова (1642—1708) в своей работе
Поправка заключается в том, что элементарные преобразования, указанные в пункте 3, в расширенной матрице весьма условны уже по самой ее природе. Преобразования производятся только над столбцами (т. е. уравнениями), так что равноправия строк и столбцов не было и не могло быть. Присутствие свободных членов не позволяло перейти к понятию определителя, хотя попытки сделать равноправными строки и столбцы мы обнаруживаем в трактате Чжан Цю-цзяня. Вообще, современная теория определителей была разработана лишь в середине прошлого столетия в трудах Вине, Коши, Якоби, Кэли, Сильвестра, Вронского. Она стала интенсивно разрабатываться в связи с развитием общей теории систем дифференциальных уравнений, играющих большую роль в современном естествознании. В свою очередь теория определителей стимулировала работу комбинаториков и подготовила почву для развития во 2-й половине XIX в. алгебраической теории форм и их инвариантов (Сильвестр, Кэли, Коши, Якоби, Гаусс). Символическое матричное исчисление, вполне современное, создал Кэли (1858), хотя отдельные теоремы содержались еще у Вине, Коши, Якоби. Китайские математики решали системы линейных уравнений при помощи хорошего алгоритма, и этим их запросы были вполне удовлетворены. Уместно напомнить, что даже Лейбниц, с именем которого обычно связывают в истории науки введение определителей, не стал развивать их теории, хотя и сознавал важность своего открытия.
Действия непременно над столбцами (но не над строками) расширенной китайской матрицы подчеркивают неразрывную связь матрицы с системой. Операции со столбцами лучше всего продемонстрировать на той же задаче 1 книги VIII «Математики в девяти книгах».
Прямоугольная матрица заданной системы имеет вид
Правый столбец (т. е. первое уравнение) остается неизменным, и согласно правилу преобразуются средний и левый (т. е. второе и третье уравнения) '
1683 г.
186
1 0 3\ / 0 0 3\ /003
25 21/45 21/052
3 1 1 8 1 1 I 36 1 1
26 24 39/, \39 24 39/, \99 24 39
Особенно тесная связь с уравнениями обнаруживается при выполнении пункта 4 алгоритма, когда находится решение системы. Как мы уже видели, в рекуррентные формулы входят найденные значения неизвестных в составе и4. Собственно, эти формулы означают нахождение неизвестных из ступенчатой системы уравнений, которая соответствует треугольной матрице с нулями, при этом происходит «восхождением от последнего уравнения к первому:
п-1Хп-1 ~Ь пХп ~ &п-19
а11Х1 + «12^2 + • • • + а1пХп= Ь1-
Единственно, что отличает эти формулы от непосредственно определения х. из ступенчатой системы, — это выделение общего «делителя» апп. Так поступают, по-видимому, даже тогда, когда Ъп делится на апп без остатка. Быть может, в этом сказалась китайская традиция получать на доске отдельно целочисленные делимое и делитель и затем «объединять» их в одно число, т. е. находить их частное, которое, вообще говоря, может быть дробным. Так или иначе, но в терминологии при формулировке действий с таблицей имеет место следующая двойственность.
С одной стороны, при вычислении и{ его делитель, т. е. аи, называется «количеством снопов какого-то урожая», т. е. в переводе на наш язык коэффициентом при неизвестном х4 в 1-м уравнении. Между тем аи можно было бы назвать числом, стоящим в ?-м столбце и в г-й строке, пользуясь термином для табличного числа, который употреблялся в другом месте правила. С другой стороны, при составлении первого слагаемого В4апп в числителе х{ Ь{ называется матричным термином: «составляющее [количество] в 1-м столбце».
Кроме того, х1 «составляются» из чисел, являющихся коэффициентами матрицы, которую вычислитель видит непосредственно перед собой на счетной доске, названия же этих чисел содержатся в тексте правила.
Итак, во время преобразования матрицы связь ее с уравнениями все же ослабевает. Но таблица с нулями мобилизует память вычислителя: он должен теперь «вспомнить», что перед ним система уравнений, из которой удобно найти значения неизвестных. Дробные значения корней, вынуждают математика составить рекуррентные формулы общего вида по традиционной форме выделения общего делителя. Отсюда двойственная терминология табличных чисел.
187
7. Усовершенствование метода
Особенностью метода фан-чэн является неподвижность столбцов. Порядок действий строго выдержан, ц столбцы не переставляются. Действительно, в приведенном выше примере проще было бы оставить в покое левый столбец, а преобразовывать средний и правый:
Но в том-то и заключалась специфическая особенность китайского алгоритма, что вычислитель не должен был обращать внимания на частный вид системы, а, владея универсальным методом, решать любую задачу такого типа единообразно. Обратимся снова к задаче 1. Правый столбец первого уравнения остается неизменным с самого начала. Следующий, второй столбец преобразуется так: его числа умножаются на ап, и из них вычитаются числа правого столбца до тех пор, пока, как сказано в правиле, «все не исчерпается», т. е. не получится нуль вместо а21. Таким образом, даже при преобразовании очередного столбца уже «готовый» столбец (столбец, принадлежащий треугольной матрице) не меняется, его не умножают на какое-то число, чтобы потом вычесть из преобразуемого столбца, как это сделали бы мы теперь. Такое многократное вычитание нас не должно удивлять, если мы опять-таки учтем характер китайской вычислительной техники: в ней более удобно раз за разом убавлять нужное число на соответствующее, постепенно изменяя сочетание счетных палочек, изображающих число.
