Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
В самых простых задачах требуется умение проводить тождественные преобразования. Но осознать их и перейти к более сложным для древних было не так просто, как нам может показаться на первый взгляд. Для примера остановимся на одной простой задаче 13 книги VI «Математики в девяти книгах», которая не является алгебраической, но которая не решается без тождественных преобразований. Приведем ее точную формулировку:
«Медленно идущий проходит сначала 10 ли. Быстро идущий догоняет его, и через 100 ли медленно идущий оказывается отставшим на 20 ли. Спрашивается, сколько ли пройдет быстро идущий, прежде чем догонит (медленно идущего)?
Ответ:'33 с малой половиной ли» [50, с. 485].
Решение задачи сводится к составлению пропорции (рис. 10)
х __ 100 х — 10 100 — (10 + 20) #
Эту пропорцию можно заменить производной пропорцией
х 100 10 —10 + 20 •
отсюда
(10+20) #=10.100
175
_ 10 . 100 1
И Х — 10 + 20 -^1'
как указано в ответе. На самом деле в правиле рекомендуется именно такой образ действия:
«Тот путь в 10 ли, который прошел медленно идущий, сложи с путем в 20 ли, на который обгоняет его быстро идущий, это делитель. 10 ли пути медленно идущего умножь на 100 ли пути быстро идущего, это делимое. Объедини делимое и делитель, получишь [искомое количество] в ли» [Там же].
Эта и две другие аналогичные задачи (12-я и 14-я) являются «задачами на движение». Они составлены так, что рассмотрены различные случаи движения двух тел с разными скоростями. Для задач такого рода уже в древности, по-видимому, существовал общий метод решения. Устанавливалось соотношение пропорциональных величин
х/(х—а) = Ь/с,
где а, Ь, с — данные или составленные по данным величины, х — искомая. Хотя правила к задачам числовые, видно, что х находится, фактически, по формуле
х=аЪ1(Ъ—с).
Как ее вывели, в тексте не поясняется, но для ее получения нужно либо от пропорции перейти к производной пропорции
х/а=Ь/(Ь—с),
либо, также применяя свойства пропорции, получить сначала
хс=хЪ—аЬ,
а затем
аЬ = (Ь—с) х.
В задачах 13, 14, надо полагать, переходят к производным пропорциям, что же касается задачи 12, то в ней этого не требуется, она проще последующих.
Приведенные задачи отличаются от задач 1—31 на пропорции книги II «Математики в девяти книгах», подробно разобранных в § 9 предыдущей части, именно тем, что в них неизвестная входит и в предыдущий и в последующий члены отношений. Вот почему в тех задачах не требуется тождественных преобразований, точно так же как они не нужны в других арифметических задачах на пропорциональное деление, тройное правило и т. п., как бы сложными они ни были.
Тождественные преобразования были необходимы также при выводе формул площадей и объемов, по которым производятся расчеты в книгах I и V «Математики в девяти книгах». Здесь мы не будем подробно на них останавливаться. Они широко применяются в книге IX, посвященной решению геометрических задач алгебраическими методами.
Нам следует отметить, что для всех этих случаев характерно одно: преобразования проводятся над такими величинами, которым соответствует некий геометрический образ. Это либо длины отрезков, выражающих пройденный путь (задачи на движение книги VI),
176
либо линейные размеры плоских, объемных фигур, именно: длины, ширины, высоты (задачи на определение площадей и объемов в книгах I и V), либо стороны, диагонали и т. п. многоугольников {задачи книги IX). Таким образом, и неизвестная и заданные величины одной природы, разница между ними лишь в том, что одни отрезки уже «измерены» (известны), а длину других предстоит определить.
При проведении преобразований должны быть известны законы операций над числами: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Если в арифметике в каждом конкретном случае могли проверить, например, что 2+3=3+2, непосредственным подсчетом, то с введением неизвестной потребовалось, вообще говоря, уверенность в сохранении подобного рода свойств для любых двух пар величин, т. е. а+6 = Ь+а. Таким образом, применение тождественных преобразований означает фактическое интуитивное использование общих законов операций. А это уже область алгебры, определенной таким образом Л. Эйлером в 60-х годах XVIII в. во «Введении в алгебру». И хотя исторически точка зрения на предмет алгебры не оставалась постоянной: в середине XIX в. у Серре алгебра еще определялась как теория решения алгебраического уравнения п-ж степени с одним неизвестным, а в XX в. — уже как аксиоматическая алгебра, теория операций всегда являлась важнейшей принадлежностью алгебры.
2. Китайская «символика»
Хотя мы упомянули о том, что настоящей символики у китайцев не было, остановимся на этом вопросе несколько подробнее. Во-первых, здесь символику заменяла совокупность терминов и специальных выражений, которые в целом создавали характерный для математической литературы язык. Кстати, он составляет значительные трудности при переводе древних текстов (одна из причин неохотного до последнего времени их исследования синологами). При помощи специальных выражений можно было сформулировать алгоритмы, выразить соотношения, описать операции и т. д., но нам на первый взгляд может показаться непонятным, как без символики представляли уравнение и решали его, — ведь для нас уравнение и есть буквенная запись соотношения известных и неизвестных величин. Все это тем более необходимо рассмотреть, что в настоящее время значения многих терминов утрачены и их приходится восстанавливать. Непонятные места помогает прочитывать логика самого математического решения, и нам еще не приходилось встречать бессмысленных утверждений у древних, если это, конечно, не было явной ошибкой или опиской.
