Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
19. Роль счетной доски в преобразовании метрологии
Мы видим, что к идее десятичных дробей пришли в результате опыта измерения и вычисления. Для бо лее. точных измерений требовался большой набор мер, который особенно просто расширять при расчетах, ведь при вычислениях можно получать сколь угодно малые меры. Но для оперирования с метрологическими величинами следовало упорядочить образование единиц. В этом процессе упорядочения метрологии, несомненно, не последнюю роль сыграла счетная доска. Именно она со своим позиционным принципом способствовала введению десятичных дробей. Ли Янь специально подчеркивает, что десятичные разряды появились потому, что деление и извлечение корней проводились по алгоритмам, разработанным для доски [98]. Доска способствовала распространению этих алгоритмов на любой случай, который включал также нецелое деление и извлеченио корня из неполного квадрата. Сравнительная легкость перехода «через запятую», т. е. от целых чисел к десятичным разрядам дроби, на доске обусловливается беспрепятственным движением единичной счетной палочки. Благодаря тому что число на доске
114
может мыслиться с любым количеством нулей на конце, осуществляется возможность получать десятичные разряды после запятой при помощи того же самого алгоритма, давшего целую часть частного или корня.
В то же время счетная доска вводила своеобразное ограничение, сказавшееся на всем развитии техники вычислений в старинном Китае. После выкладок, проведенных на доске, результат «снимался», и позиционность системы утрачивалась. Так как целые числа записывались в именованной системе счисления (назывался каждый разряд числа), то и десятичные разряды дробной части аналогично фиксировались под своими названиями. Вот почему метрологические дроби оказались столь же живучими в китайской практике, сколь неизменной оставалась система счисления в целом. Понятие десятичной дроби в абстрактной форме, кесмотря на попытки Сунь-цзы еще в III в. создать его, так и не было выработано до конца, пока оно не пришло в китайскую культуру вместе с заимствованной с запада современной математикой.
8*
Часть третья
ПОНЯТИЕ ЧИСЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Эта часть тесно примыкает к предыдущей, поскольку в ней речь также идет в значительной мере о тех возможностях, которые имели древние математики для решения своих задач. В ч. II представлена арифметика целых чисел и десятичных дробей,, здесь — арифметика дробей обыкновенных. В предыдущей части мы видели, как проблемы измерения заставляли переходить от целых чисел к десятичным дробям, с помощью которых можно приближенно выразить любое действительное число (прагматический подход к построению действительного числа) [20, с. 146].
Здесь мы рассмотрим алгебраический путь перехода от целых чисел к числам рациональным. Действительно, этот путь, принятый в современной алгебре, исходит из того, что требуется выполнимость определенного действия: для рациональных чисел — деления, для дальнейшего расширения (т. е. алгебраических чисел) — извлечения корней. Как заметил А. Н. Колмогоров, поле действительных чисел при этом расширении не получается [46, с. 4—5]. Нас интересует, каким образом древние ввели в математику обыкновенные дроби. Они также исходили из требования выполнимости деления, но, конечно, не аксиоматически. Рассмотрим освоение древними китайцами операции деления и понятия рационального числа: разработку аппарата обыкновенных дробей, связанную с введением методов и понятий теоретико-числового характера — наименьшего общего кратного, наибольшего общего делителя и др.
В нашем распоряжении нет какого-либо систематического изложения, подобного «Началам» Евклида, по которому мы смогли бы выявить объем понятия числа в древнекитайской математике. Мы пытаемся воссоздать картину развития этого понятия по отдельным вычислениям и алгоритмам. Разрабатывая алгоритмы,, китайские математики активно осваивали одну числовую область за другой, и если при этом не строили теорий, то фактически все же вырабатывали понятие числа в том или ином объеме. Здесь можно более отчетливо, чем, может быть, где-либо, выявить те действительные причины, которые побуждали к введению новых категорий чисел.
Тот исторический процесс, который происходил в древнем Китае при освоении понятия числа, носил достаточно общий характер и имел место во всех древних цивилизациях.
116
Глава первая
обыкновенные дроби
1. Дроби в «Десятикнижъе»
Все четыре арифметических действия с обыкновенными дробями были освоены и изложены в трактатах «Десятикнижья». Они прежде всего специально описаны в книге I «Математики в девяти книгах» об измерении полей. Этим самым древний читатель получал возможность вычислить площадь любого поля указанного там вида, измерялись ли его линейные размеры целыми числами или дробными [9].
В нашей символике правила операций с дробями, содержащиеся в «Математике ... », можно передать следующими формулами:.
п
если Ь1 ^Ъ2= ... =Ьп=Ь, то просто
2*
а с ад — Ъс . а ^ с
—7=-м~' здесь7г>т;
