Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Эта же десятичная шкала мер емкостей применяется у Сунь-цзы в ответах к задаче 13 последней книги, где утруска проса, хра-
101
нящегося в амбаре в течение года, составляет «11099 ху 4 доу 2 шэна 1 гэ», а проса, хранящегося 9 лет, «99894 ху 7 доу 8 шэнов 9 гэ», и во многих других задачах [49, с. 35].
Однако метрологические дроби можно считать лишь прообразом настоящих десятичных дробей. Чтобы получить вполне абстрактные десятичные дроби, надо было отказаться от метрологической оболочки, т. е. выйти из той среды, из той области величин, которая «вырастила» самую идею систематической дроби. Совершить этот шаг было для древних нелегко, и он был сделан при весьма специфических обстоятельствах.
14. Переход к абстрактной дроби
Трудность заключалась в том, что древние решали по большей части конкретные задачи. Обычно в них речь шла об измерении площадей полей, объемов плотин, вычислении емкости зернохранилищ, о весе шелка-сырца, о размере шелковых тканей или полотна и др. Следовательно, в задачах из повседневной жизни чаще всего имеют дело с метрологическими величинами или именованными числами.
Выделяя в конкретных задачах общую сущность, математики создают методы для решения класса подобных задач. Более широкий класс сводят к более простому с известным решением, при этом конкретное содержание задачи отодвигается на задний план, на передний план выдвигаются научные проблемы, в результате чего задача формулируется в общем виде, без конкретных величин. В «Математике в девяти книгах» мы встречаем вполне отвлеченные задачи в ее алгебраических VII и VIII книгах.
Предлагая общую трактовку десятичной дроби, Сунь-цзы поступает следующим образом: он берет величину, заведомо не имеющую частей, как, например, человека. Десятые доли величин подобного рода и демонстрируют десятичную дробь, хотя формальна число остается именованным.
Вот эта замечательная задача 2 последней книги «Математического трактата Сунь-цзы», на которую почему-то до сих пор исследователи не обращали внимания:
«Имеется 15000000 тяглых, [требуется] выделить 400000 солдат. Спрашивается, на сколько тяглых приходится один солдат? Ответ: 37 тяглых 5 фэней» [49, с. 34].
Образование десятичной дроби в тексте не поясняется, на дробь «налицо»: «37 и 5 десятых» — так следует понимать ответ к задаче,—ведь не может существовать полчеловека1 Для обозначения десятых долей китайский автор употребил знакомое слова фэнъ, т. е. доля — то же самое, которое указывает одну десятую меры длины цуня. Заимствование слова для обозначения вообще любой десятой наблюдалось в дальнейшем во многих областях. Например, так называли десятую часть стоимости монеты, площади му и др. В трактате Сунь-цзы «долей» названа и 1/10 бц
102
<(шага), который содержал отнюдь не 10, а 6 основных единиц чи, и Сунь-цзы поступает с бу так, как раньше с «человеком».
Присвоение десятым долям любого именованного числа одного конкретного «имени» составляет ту переходную ступень, которая лежит между метрологической и десятичной дробью. Постепенно становятся не нужными три отдельные метрологические шкалы: длины, емкости, веса, достаточно и одной шкалы, как достаточно одного слова «доля» для обозначения десятых долей числа. Затем следовало освободиться и от этой единственной шкалы, перейдя к абстрактному понятию дроби. Можно указать на одну такую попытку из текста Сунь-цзы. В задаче 21 средней книги показано образование десятичной дроби на примере деления «неделимого» на 10 бу; в задаче 16 той же книги, наоборот, Сунь-цзы воздерживается от такого шага. Такое счастливое сопоставление почти одинаковых решений двух задач показывает нам осторожность Сунь-цзы в обращении с новым, только что созданным понятием. Например, в задаче 21:
«Имеется кривое поле. Обвод 639 бу, диаметр 380 бу. Спрашивается, каково поле?» [49, с. 31]. Вычисляя площадь сектора согласно правилам, автор делит обвод в 639 бу пополам, результат таков: «Получишь 319 бу 5 долей», вычислитель получает частное равным 319,5 бу.
Совершенно так же должно было получиться и в задаче 16: «Имеется веревка длиной 5794 бу. Если сделать [из нее] квадрат, то спрашивается, каков [он]?» [49, с. 30].
Легко видеть, что сторона квадрата равна 1448,5 бу. Однако в ответе записано: «1448 бу 3 чи». Откуда такая непоследовательность у одного автора? Ее можно объяснить лишь тем, что в первом случае Сунь-цзы цозволяет себе применить новое понятие десятичной дроби, поскольку он находится в «своей» области, в области вычислений. Далее полученная дробь умножается на 190 ж «исчезает». Ее «ввод» обошелся без последствий. Во втором же случае дробь стоит в окончательном ответе, и Сунь-цзы не хочет, а может быть, не имеет права затруднять чиновника земельного ведомства новой искусственной единицей. Здесь Сунь-цзы вынужден отступить от своих правил и оставить старые, привычные меры и тем самым поступиться простотой решения, которое значительно усложняется и из одного действия превращается в три:
«Установи длину веревки 5794 бу, раздели это на 4, получишь 1448 бу с остатком в 2 бу. Умножь это на 6, получишь 1 чжан 2 чи. Раздели это на 4, получишь 3 чи, присчитай и получишь [искомое]» 149].
