Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что нам задано начальное условие в виде значений орости и плотности и (s) и p(s) вдоль некоторой кривой (5), не впадающей ни целиком, ни частью с кривыми характеристической 168 одномерный поток идеальной жидкости {гл. lty
сетки (рис. 37). В частном случае могут быть заданы значения этих величин в функции от X при t= О, т. е. начальное возмущение
при C==O, к = «0 (*), р = р0 (х).
Определив по (28) и (29) угловые коэффициенты кривой (C1) в точке А и кривой (C2) в точке В по формулам:
(dx\ fdx
-dt)A==uA + aA = uA + a (PA)' =uB-aB= ив — аЫ,
проведем соответствующие характеристические направления и построим треугольник AA1B.
Рис. 37.
На отрезке AA1 характеристики (C1) выполняется, согласно (30), равенство
+ = ^ (Pa) +uA'
с другой стороны, на огрезке A1B характеристики (C2), согласно (31), будет:
^(Pa1)-"л, (Рв) —^ив-Из полученной сложением и вычитанием системы равенств:
^ (Pa1) = І l§ ^a) + ил + ® (P5) ~ ип\> легко находятся значения р^ и иЛ. ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл 169
Повторяя точно такое же рассуждение о треугольнике BB1C, попоенном по значениям угловых коэффициентов характеристики (C1) точке В и характеристики (C2) в точке С, найдем значения Kf^ и
р в точке Bv Но по полученным значениям иА, р^ и ив, pBj легко наметить дальнейшие направления характеристик, построить, таким образом, треугольник A1AiBi и по предыдущему определить значения к и р в точке At. Аналогичным приемом можно было найти значения и и р в точках A2, B2 и т. д. Задаваясь достаточно густым делением кривой (5) в точках А, В, С и т. д., найдем указанным только что графо-аналитическим приемом значения неизвестных функций и и P в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, t), что и решает поставленную задачу. В этой возможности при помощи характеристик построить полное решение системы уравнений, удовлетворяющее некоторому заданному начальному распределению неизвестных функций, и заключается важное принципиальное значение идеи применения характеристик.1
В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа, согласно уравнениям (1) или (27), характеристики (C1) и (C2) в пространственно-временной плоскости (х, t) имеют простой физический смысл. Это — движущиеся вдоль оси Ox со скоростью и-\- а или и — а и перпендикулярные к этой оси плоскости, причем в плоскости, движущейся вниз по течению со скоростью и-\-а, сохраняет свое
значение сумма § -f- и, а в плоскости, движущейся вверх по течению
со скоростью и — а, сохраняется разность §— и. Если вместо абсолютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения относительно газа, то эти движения представятся как распространение в противоположные стороны двух волн со скоростями ±а, равными по абсолютной величине местной скорости звука.
Чтобы составить себе общее впечатление о характере рассматриваемого движения газа, обратимся к изучению одного простого частного решения системы (27).
Будем предполагать движение газа баротропным и закон связи между давлением и плотностью р=р(р) заданным; тогда, согласно (25)
1 Несколько подробнее метод характеристик в приложениях к сверхзвуковым задачам будет изложен в гл. VI.
строгое изложение теории характеристик и доказательство теоремы ных ственности решения уравнений характеристик можно найти в специаль-п кУРсах дифференциальных уравнений в частных производных. См., на-т п г Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики,
J, остехиздат, 1945, стр. 66.
3адачамИЛ<ЖЄШ1Є метода характеристик к нелинейным газодинамическим , Term,» ДОСтаточно подробно и полно изложено во втором томе курса H Rd4cck01' гидромеханики" И. А. Ku бе ля, Н. Е. Кочина ¦ Розе.
и 170 одномерный поток идеальной жидкости [гл. IV
и (23), функция § определится как функция р из соотношения
sf(p)-J ef,
(32)
где по (22) а является также заданной функцией р. Примем, например, рассматриваемое одномерное движение за адиабатическое и изэнтро-пическое; тогда будем иметь
Р_ = (Г]
Po V Po/ '
а следовательно, по (22) получим:
й—і 2
(33)
а по (28)
P R-I р/ро ft—і г
Po 1
2
ft—і
W3
V Po/
(34)
Построим частное решение системы (27), положив во всей плоскости (х, t)
S(P)-
2др [/JlV ь—1 LVPo/
ft—1
2
1
(35)
где я0 и р0 — значения скорости звука и плотности в покоящемся невозмущенном газе.
При Р>Ро будем иметь сжатие газа и возмущенное движение вдоль положительного направления оси л:, при р < р0 — разрежение газа и движение в противоположном направлении.
Второе уравнение системы (27) в силу (35) тождественно удовлетворяется, а первое переходит в следующее:
ди , , , . ди _ "й+ («+«) Sf=0-
(36)
Это уравнение можно, по предыдущему, трактовать, как условие сохранения скорости и, а по (35), следовательно, и плотности р в перпендикулярной к оси Ox плоскости, движущейся с абсолютной скоростью «-)-«, а по отношению к газу — с местной скоростью звука а. По (33) и (35) местная скорость звука равна
ft—1
¦и.
