Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
165
сжатия и, наоборот, уменьшения этой скорости при прохождении волны разрежения, то можно себе представить, что последовательно образующиеся слабые волны сжатия должны будут догонять друг друга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все меньшие и меньшие скорости распространения, т. е. будут друг от друга отставать.
Распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет, таким образом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих ее волн. Это приведет к образованию плоской (в рассматриваемом одномерном случае) волны конечной интенсивности, распространяющейся со скоростью, превышающей скорость звука, и тем большей, чем больше интенсивность волны. Такую движущуюся по отношению к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного скачка скорости, давления, температуры и плотности газа — называют ударной волной.
Изложенные качественные соображения о механизме возникновения ударной волны можно, следуя Риманну,1 подтвердить и с количественной стороны.
Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1). Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а, равную по предыдущему величине местной скорости распространения звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа в рассматриваемой точке потока
«=/f. (22)
Пользуясь функцией давления §, которую можно рассматривать и как функцию плотности по формуле
Po Po Po
преобразуем второе уравнение системы (1)
dp , ди , др „
К ВВДу
dp_dp бы dp dp 1д?Р, ди , 1 д§ после Чего система (1) перейдет в следующую:
дї^~идх~ дх' I
JLM-L JLM.= __ а — I ^24-*
a dt ' а дх дх' )
Schwinoi,Rlem.an n- ^ber die Fortpflanzung ebener LuitwelIen von endlicher W,ngungsweite. Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Gottingen1 1860. 166
одномерный поток идеальной жидкости {гл. lty
Введем теперь вместо функции давления § новую функцию §, связанную с нею простым дифференциальным соогношением
а
Тогда система (1) может быть переписана в форме:
(25)
(26)
откуда сложением и вычитанием легко получить более удобную для последующих выводов систему уравнений:
1
ди W + ди _ дх адх'
а§ dt + S=- дх ди
I
а
- и) = 0.
(27)
'Bl=Iirctg (и+а) вг=агсгд(и-а)
Левые части уравнений (27) представляют одномерные индивидуальные производные: в первом уравнении от величины IP-}-и для
точки, движущейся со скоростью и-\-а, и во втором
уравнении от величины § — и для точки, движущейся СО скоростью и — а. Равенство нулю этих индивидуальных производных говорит о сохранении величины IP4-и в точке, движущейся со скоростью и 4- а, "И величины
§ — и в точке, движущейся со скоростью и — а.
Полученный результат имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим в плоскости аргументов (х, t) семейсіво (C1) (рис. 36) кривых, определяемое дифференциальным уравнением
^tgO1 =«4-о, (28)
и второе семейсіво (C2), отвечающее рещениям дифференциального уравнения
Рис. 36.
dx
JF
и—а.
(29) §28]
распространение конечных возмущений
167
Действительный вид этих кривых определится только после реше-системы (1), так как справа стоят неизвестные функции и(х, t) и а (х, t)\ существенно, однако, что в каждой точке плоскости ,, ^ 'известно направление касательных к этим кривым, если заданы значения и и р в этой точке.
Из уравнений (27) следует, что:
1) на кривых семейства (C1)
l-)-M = const, (30)
2) на кривых семейства (C2)
§ — и = const. (31)
Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих семействам (C1) її (C2), существуют определенные соотношения (30) и (31) между функциями и и §, а при заданном характере баротропного процесса, и между основными неизвестными функциями и и р.
Семейства (C1) и (C2), образующие в основной плоскости аргументов (х, t) сетку кривых, обладающих тем замечательным свойством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в нашем частном случае уже проинтегрированным конечным соотношениям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений в частных производных; угловые коэффициенты этих кривых, определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические направления.
Примером характеристик в простейшем случае линеаризированных уравнений распространения звуковых волн (5) служат семейства прямых: х — at — const и x-\-at= const, вдоль которых сохраняют одинаковое значение скорости возмущений и остальные физические величины.
Равенства (30) и (31), при заданном уравнении баротропного процесса P=PQ^s образуют в плоскости («, р) также два семейства кривых, которые можно рассматривать, как „изображения" характеристик (C1) и (Ca) в плоскости (и, р) или как характеристики 6 плоскости (и, р).
Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1), как существование характеристик позволяет свести задачу разыскания интеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего заданным начальным условиям, к простым графо-аналитическим приемам, основанным на использовании системы дифференциальных уравнений (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (30) и (31).
